第 2 讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 1 ．函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x) 在某个区间 (a ， b) 内可导，(1) 如果 f′(x) ＞ 0 ，那么函数 y ＝ f(x) 在这个区间内 ；(2) 如果 f′(x) ＜ 0 ，那么函数 y ＝ f(x) 在这个区间内 ． 单凋递增 单调递减2 ．函数的极值(1) 判断 f(x0) 是极值的方法一般地，当函数 f(x) 在点 x0处连续时，① 如果在 x0附近的左侧 f′(x) ＞ 0 ，右侧 f′(x) ＜ 0 ，那么f(x0) 是极大值；② 如果在 x0 附近的左侧 ，右侧 ，那么 f(x0) 是极小值．f′(x) ＜ 0 f′(x) ＞ 0 (2) 求可导函数极值的步骤① 求 f′(x) ；② 求方程 f′(x) ＝ 0 的根；③ 检查 f′(x) 在方程 f′(x) ＝ 0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得 ；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 极大值3 ．函数的最值与导数设函数 f(x) 在 [a ， b] 上连续且在 (a ， b) 内可导，求 f(x) 在[a ， b] 上的最大值和最小值的步骤如下：① 求 f(x) 在 (a ， b) 内的极值；② 将 f(x) 的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．f(a) ， f(b) 辨 析 感 悟 1．对函数的单调性与导数关系的理解 (1)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f′(x)＞0，那么 f(x)在(a，b)上单调递增；反之若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0. (×) (2)函数在其定义域内的离散的点处导数为 0 不影响函数的单调性． (√) (3)(2012·辽宁卷改编)函数 y＝12x2－ln x 的单调减区间为 (－1,1)． (×) 2．对函数极值、最值概念的理解 (4)导数为 0 的点一定是极值点． (×) (5)函数 f(x)＝x－1x有极值． (×) (6)(教材习题改编)函数 f(x)＝13x3－4x＋4 在(0,3)上的最大值为4，最小值为－43. (×) [ 感悟 · 提升 ]1 ．一点提醒 函数最值是“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念，极大值与极小值没有必然的大小关系．2 ．两个条件一是 f′(x) ＞ 0 在 (a ， b) 上成立，是 f(x) 在 (a ， b) 上单调递增的充分不必要条件，如 (1) ．二是对于可导函数 f(x) ， f′(x0) ＝ 0 是函数 f(x) 在 x ＝ x0 处有极值的必要不充分条件，如 (4) ．3 ．三点注意一是求单调区间...
