省丹中数学 选修４－２ 2025-03-06课时 7 切变变换【教学目标】掌握切变变换对应矩阵及其几何意义，其实质是横（纵）坐标成比例运动。【教学过程】一、问题情境问题：一副码好的纸牌，现将它的左边与一把直尺对齐，保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动，用直尺轻轻推动纸牌，使得纸牌的形状变换为如图所示的模样，问纸牌被推动的前后存在什么变化规律吗？你能将该问题数学化吗？二、数学建构从 图 中 可 以 看 出 每 张 纸 牌 移 动 的 距 离 都 不 相 同 ， 其 正 视 图 可 以 用 下 图 表 示 ：记这个几何变换为 T，对应的矩阵为 M，考察点 B：T：，则 M=，令, M=表示把点沿 x 轴方向平移|ky|个单位。 由矩阵 确定的变换通常叫做切变变换，对应的矩阵叫做切变变换矩阵。- 1 -110011kk 101k省丹中数学 选修４－２ 2025-03-06注： 对于原图形中的任意一点，纵坐标保持不变，而横坐标依纵坐标的比例增加，它把平面上的点沿 x 轴方向平移|ky|个单位,当 ky>0 时，沿 x 轴正方向移动；当 ky<0 时，沿 x 轴负方向移动；当 ky=0 时，原地不动，图形在 x 轴上的点是不动点。 是沿 y 轴方向的切变变换，对于原图形中的任意一点，横坐标保持不变，而纵坐标依横坐标的比例增加，它把平面上的点沿 y 轴方向平移|kx|个单位，当 kx>0 沿 y 轴正方向移动；当 kx<0 时，沿 y 轴负方向移动；当 kx=0 时，原地不动，在此变换作用下，轴上的点为不动点。 三、例题讲解例 1. 如下图所示，已知矩形 ABCD 在变换 T 的作用下变成图形 A'B'C'D'，试求变换 T 对应的矩阵 M.例 2. 对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质（如线段长度、角度、周长、面积）有变化吗？试以切变变换矩阵 和平行四边形 ABCD 为例加以说明，其中A(0,0),B(2,2),C(6,2),D(4,0)例 3．已知矩形的顶点坐标 A(-2,0),B(2,0),C(2,2),D(-2,2)⑴ 求矩形 ABCD 在矩阵 作用下变换得到的几何图形。⑵ 求矩形 ABCD 在矩阵 作用下变换得到的几何图形。- 2 -101k11011120110112省丹中数学 选修４－２ 2025-03-06【课后练习】1.已知矩形 ABCD 在变换 T 的作用下变成图形 A'B'C'D'，试求变换 T 对应的矩阵 M.并指出矩形区域 ABCD 变换过程中的不变线段。2.考虑直线 x+y=2 在矩阵 作用下变换得到的几何图形。3. 在矩阵变换下，点 A（2，1）将会转换成 4. 设圆 x2+y2=1 在(x,y)→(x+2y,y)对应的切变变换下变换成另一图形 F，试求 F 的解析表达式作业；书 P34 11-13- 3 -
