高中数学高考综合复习专题十七算术平均数与几何平均数一、知识网络二、高考考点1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。1、关于不等式的“基本性质”（1）对称性：a>bb
b,b>ca>c（3）“数加“法则：a>ba+c>b+c推论：a+b>ca>c-b（移项法则）（4）“数乘”法则：a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0acb,c>da+c>b+d;1（2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0ac>bd；（3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0an>bn>0(nN*);（4）正数不等式两边“开方”认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）（二）基本定理及其推论定理1：如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立）定理2：如果a,bR+，那么（当且仅当a=b时等号成立）推论1（和的平方不等式）：若a,bR+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）；（2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）；四、经典例题例1（1）若x,yR+且的最大值.（2）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等（1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2：（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。2解：（1）注意到这里x>0，u>0，∴=（当且仅当）时等号成立）。（2）由已知得=3(当且仅当时成立)∴umin=3（当且仅当x=1且y=2时取得）点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。例2（1）若x,y,a,bR+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值；（2）若00，求的最小值.分析：3对于（1）如何利用,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”；对于（2），注意到这里0c(利用三角形...
