第二十三章 旋转专题 21 特殊角度的旋转问题武汉专版 · 九年级上册1 ． ( 武汉模拟 ) 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30° ， AB ＝ 3 ，以 AC 为边向外作等边△ ACD ， BD＝ 5. 求 BC 的长．2 ． ( 武汉模拟 ) 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ BC ， AE⊥AB ， BF⊥AB ，且∠ ECF ＝45°. 若 AE ＝， BF ＝，求 EF 的长．【解析】以 AB 为边作等边三角形 AEB，连接 CE，可证△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝EC＝5.∵∠EBA＝60°，∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90°，根据勾股定理得：BC＝ 52－32＝4.【解析】把△CBF 绕点 C 逆时针旋转 90°得到△CAH，∴∠HAC＝∠CBF＝135°，HA＝BF＝ 10，∴点 H，A，B 共线，∴∠HAE＝90°，根据勾股定理得：HE＝2 3.由△HEC≌△FEC得 EF＝EH＝2 3.3 ．已知等边△ ABC.(1) 如图①， P 为等边△ ABC 外一点，且∠ BPC ＝ 120° ，试猜想线段 BP ， PC ， AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2) 如图②， P 为等边△ ABC 内一点，且∠ APD ＝ 120° ，求证： PA ＋ PD ＋ PC ＞ BD ；(3) 在 (2) 的条件下，若∠ CPD ＝ 30° ， AP ＝ 4 ， CP ＝ 5 ， DP ＝ 8 ，则 BD 的长是？【解析】 (1) 延长 CP 至 D ，截取 PD ＝ PB. 由∠ BPC ＝ 120° ，可得△ BPD 为等边三角形，则可证△ BAPBCD(≌△旋转全等 ) ，则 PA ＝ CD ＝ CP ＋ DP ＝ CP ＋ BP.(2) 将△ APC 绕 A 点顺时针旋转 60° 到△ AQB ，则△ APQ 为等边三角形，∴ CP ＝ BQ ， AP ＝PQ ，∠ APQ ＝ 60°. 又∠ APD ＝ 120°. Q∴、 P 、 D 三点在一条直线上，∴ PA ＋ PD ＋ PC ＝ PQ ＋PD ＋ BQ ＝ QD ＋ QB ＞ BD.(3) 由 (2) 可得∠ AQB ＝∠ APC ＝ 150° ，又∠ AQP ＝ 60° ，∴∠ BQP ＝ 90° ，又 QD ＝ AP ＋ PD ＝ 12 ， BQ ＝ CP ＝ 5 ，∴ BD ＝ 13.
