1/6faf(x)dx 二-a0,f(x,y)为 y 的奇函数的偶函数关于积分对称性定理1、定积分：设 f(x)在［-a,a］上连续，贝 I」0,f(x)为¥的奇函数2faf(xhx,f(x)为的偶函数02、二重积分：若函数 f(x,y)在平面闭区域 D 上连续，则(1)如果积分区域 D 关于 x 轴对称，f(x,y)为 y 的奇(或偶)函数,即 f(x,-y)=—f(x,y)(或 f(x,-y)=f(x,y))，则二重积分fff(x'yMf(x,y)xdy,f(x,y)为D1其中：D 为 D 满足 y>0上半平面区域。1(2)如果积分区域 D 关于 y 轴对称，f(x,y)为 x 的奇(或偶)函数,即 f(-x,y)=-f(x,y)(或 f(-x,y)=f(x,y))，则二重积分2/6f(x,y)dxd戸 0,f(x,y)为的奇函数f(x,y)lxdy=<2fff(x,yhxdy，f(x,y)为的偶函数D2其中：D 为 D 满足 x>0 的右半平面区域。2(3) 如果积分区域 D 关于原点对称，f(x,y)为 x,y 的奇(或偶)函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)(或 f(-x,-y)=f(x,y))则一重积分0,f(x,y)为;y 的奇函数•JfQy)dxdy=<』ff©歹彌，f©歹床 y 的偶函数DID2其中：D 为 D 在 y>0上半平面的部分区域.1(4) 如果积分区域 D 关于直线 y 二 x 对称，则二重积分fff6,yhdy 二fff(y,xhdy。(二重积分的轮换对称性)DD(5) 如果积分区域 D 关于直线 y 二-x 对称，则有当 f(-y,-x)=-f(x,歹)时当 f(-y,-x)=f(x，y)时利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域 D 对称及被积函数 f(x,y)具有奇偶性两个特性。DD3/63、三重积分：(1)若 f(x,y,z)为闭区域 Q 上的连续函数，空间有界闭区域 Q 关于 xoy 坐标面对称，Q为 Q 位于 xoy 坐标面上侧 z>0 的部分区域，则有r”[0,f(x,y,Z)为的奇函数注：f(x,y,z)是 z 的奇函数：f(x,y-z)=-f(x,y,z)f(x,y,z)是 z 的偶函数：f(x,y-z)=f(x,y,z)同样，对于空间闭区域 Q 关于 xoz,yoz 坐标面对称也有类似的性质。4、曲线积分(第一类)(1)若分段光滑平面曲线 L 关于 y 轴对称，且 f(x,y)在 L 上为连续函数,L 为 L 位于 y轴右侧的弧段，则1(2)若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f(x,y)在 L 上为连续函数,L 为 L 位于 x轴上侧的弧段，则4/60,
