第 三 节等 比 数 列重点难点 重点：等比数列的定义、通项公式、前 n 项和及等比数列的基本性质 难点：等比数列的应用 知识归纳 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列． 2．等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1(n∈N*)． 推导方法：累乘法： anan－1·an－1an－2……a3a2·a2a1＝qn－1. 3．等比数列的前 n 项和 当 q＝1 时，Sn＝na1， 当 q≠1 时．Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q . 推导方法：乘公比、错位相减法． 4．等比中项 如果三个数 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 和b 的等比中项，即 G2＝ab. 5．等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒ {c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒ {an·bn}、{anbn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aman＝______. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… qm－n (5)等间隔的 k 项和(或积)仍成等比数列． 例如：{an}是等比数列，则 ①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6……均成等比数列． (6)a2n＝an－k·an＋k (1≤k0)、{1an}、{|an|}均为等比数列． (8)非零常数列既是等差数列，也是等比数列． (9)若{an}是等差数列，b>0，则{ban}是等比数列． 若{an}是正项等比数列，则{lgan}是等差数列． (10)等比数列{an}的单调性 当 a1>0q>1， 或 a1<00001时，{an}为递减数列． 6．等比数列的判定方法 (1)an＋1an ＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*，an≠0)⇔ {an}是等比数列，证明一个数列是等比数列时主要用此方法． (2)an＝cqn－1(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)⇔ {an}是等比数列． (3)a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔ {an}是等比数列． (4)Sn＝A·qn－A(A、q 为常数且 A≠0，q≠0,1)⇔ {an}是公比不为 1 的等比数列． 误区警示 1．命题 A：G 是 a、b 的等比中项，B:G＝ ab，A既不是 B 的充分条件，也不是 B 的必要条件． 2．在应用等比数列的前 n 项和公式时，一定要对 q＝1 与 q≠1 进行分类讨论． 3．等比数...
