第 四节 向量的应用及向量与其它知识的综合问题 重点难点 重点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题． 难点：(1)平面向量数量积的应用； (2)向量与其它知识的综合问题． 知识归纳 一、向量的应用 1．向量在几何中的应用 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件． (1)用向量法求角 设向量 a 与 b 的夹角为 α，则 cosα＝ a·b|a|·|b|. 若a ＝ (x1 ， y1) 、 b ＝ (x2 ， y2) ， 则cosα ＝x1x2＋y1y2x21＋y21× x22＋y22； (2)用向量法处理垂直 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB→ ·CD→ ＝0. (3)用向量法处理平行 要证两线段 AB∥CD，只需证存在实数 λ≠0，使等式AB→ ＝λCD→ 成立． (4)用向量法处理距离 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB→ 2＝CD→ 2 或|AB→ |＝|CD→ |. 2．向量在物理中的应用 用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象． (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法与减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积．即 W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ 为 F 与 s 的夹角)． 二、平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量的代数与几何双重身份必然成为知识的交汇点． 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 误区警示 1．用向量法证明平行时，应注意是否在同一条直线上，因为向量平行与直线平行是有区别的． 2．力和“向量”既有联系又有区别，力有作用点． 1．向量具有数的特性，常与函数、三角、数列、不等式等许多重要内容结合命题，而且我们也可通过构造向量来处理许多代数问题． 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何问题符号化、数量化、坐标化，从而将推理转化为运算．向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的，明确了几何意义使向...
