3.2 立体几何中的向量方法第 1 课时 空间向量与平行关系一、直线的方向向量与平面的法向量的定义1. 直线的方向向量：指与这条直线 ___________ 的向量 .2. 平面的法向量：平行或共线直线 l 的方向向量 a思考：直线的方向向量只有一个吗？平面的法向量只有一个吗？提示：直线的方向向量和平面的法向量都各有无数多个，根据定义可知，只要与直线平行或共线，就是直线的方向向量，同理可知平面的法向量也有无数多个 . 二、空间中平行关系的向量表示线线平行设直线 l,m 的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2), 则 l∥m _____. 线面平行设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1) ，平面 α 的法向量为 u=(a2,b2,c2) ，则 l∥α ______. 面面平行设平面 α ， β 的法向量分别为u=(a1,b1,c1) ， v=(a2,b2,c2) ，则 α∥β _____.a∥b a⊥uu∥v判断： ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”)(1) 若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反 .( )(2) 若向量 n1 ， n2 为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行 .( )(3) 若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行 .( )提示： (1) 正确 . 若两条直线平行，则它们的方向向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反 .(2) 错误 . 若向量 n1 ， n2 为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线可能重合，也可能平行 . 故此种说法错误 .(3) 正确 . 由线面平行的判定定理知，若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行 .答案： (1)√ (2)× (3)√【知识点拨】1. 直线的方向向量的应用利用直线的方向向量及点可以确定空间中的直线和平面 .(1) 若有直线 l, 点 A 是直线 l 上一点 , 向量 a 是 l 的方向向量 , 在直线 l 上取 则对于直线 l 上任意一点 P, 一定存在实数 t, 使得 这样点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置 , 还可以具体表示出 l 上的任意点 .AB,�aAPt AB, �(2) 空间中平面 α 的位置可以由 α 上的两条相交直线确定 , 若设这两条直线交于点 O, 它们的方向向量分别是 a 和 b,P 为平面α 上任意一点 , 由平面向量基本定理可知 , 存在有序实数对(x,y), 使得 这样点 P 与方向向量 a,b 不仅可以确定平面 α 的位置 , 还可以具体表示出 α 上的任意点...
