解析几何中的思维变式张桂林 解答解析几何习题，既要考虑常规解法，也要注意运用其它思路，如逆向思维，极限思想，借助于平面几何等等。本文列举数例，作以分析比较。 1. 逆向思维 例 1. 过点 A（-1，5），B（-4，2）的直线交直线 l：于点 M，求 AM：MB。 通常是先写出直线 AB 的方程，再求 AB 与 l 的交点 M 的坐标，从而求出比值。 若运用逆向思维，先设 AM：MB＝λ，用 λ 表示点 M 的坐标，由点 M 在直线 l 上，即可求出λ 值。 解：设 AM：MB＝λ，则得 因为 所以 解得 故 AM：MB＝2 例 2. 双曲线的任一切线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，O 为原点，求证：△AOB 的面积为定值。 通常是先写出双曲线的任一切线的方程，求出 A、B 的坐标，再证得结论，当然可以，但过程较繁。 若运用逆向思维，先设 A、B 的坐标，写出 AB 的方程。由 AB 与双曲线相切证得结论，则较为简便。 证明：设 A（m，0），B（0，n），则直线 AB 的方程为： 即 因为直线 AB 是双曲线的切线，故 即的判别式△＝0 所以 因为 所以 故为定值。 例 3. 若椭圆与连结 A（1，2），B（3，4）两点的线段没有公共点，求 a的范围。 通常是分两种情况考虑： （1）A、B 两点都在椭圆外； （2）A、B 两点都在椭圆内。 若从反面考虑则可避免分情况讨论，计算简洁。 解：先求椭圆和线段 AB 有公共点时的取值范围。易得线段 AB 的方程为： 由方程组 得 故 a2在[1，3]内递增，且 x＝1，3 时的值分别为 故 因为 a>0，所以 故当椭圆与线段 AB 无公共点时 2. 极限思想 例 4. 求已知离心率，过（1，0）点且与直线 l：相切于点，长轴平行于 y 轴的椭圆方程。 通常是设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆方程，并列出过已知点 P 的切线方程，联立消参可求得椭圆方程。 若按极限思想，将点圆、点椭圆视为圆、椭圆的极限情况，则可简化运算过程。 解：由，知 将点看作长轴平行于 y 轴且离心率的椭圆系，当时的极限情形（点椭圆），则与直线 l：相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”有公共点的椭圆系方程 又因为所求的椭圆过点（1，0），代入上式得 故所求椭圆方程为 例 5. 过抛物线的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF、FQ 的长度分别是 p，q，求的值。 通常是先列出 PQ 的直线方程，求出直线 PQ 与抛物线的交点坐标，再根据两点间的距离...
