第 12 炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 y=f(t),t=g(x),且函数 g(x)的值域为 f(t)定义域的子集，那么 y 通过 t的联系而得到自变量 X 的函数，称 y 是 x 的复合函数，记为 y=f[g(x)「2、复合函数函数值计算的步骤：求 y=g[f(x)]函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知 f(x)=2x,g(x)=x2-x，计算 g[f(2)]解:f(2)=22=4・•・g[f(2)]=g(4)=123、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，贝 y 遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 x 的值。例如：已知 f(x)=2x，g(x)=x2一 2x，若 g[f(x)]=0，求 x解:令 t=f(x)，则 g(t)=0nt2-2t=0 解得 t=0,t=2当 t=0nf(x)=0n2x=0，则 xe0当 t=2nf(x)=2n2x=2，则 x=1综上所述：x=1由上例可得，要想求出 g[f(x)]=0 的根，则需要先将 f(x)视为整体，先求出 f(x)的值，再求对应 x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 f(x)的定义域为 D，若存在 xeD，使得 f(x)=0，则称 x=x 为000f(x)的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 g[f(x)]=0 根的个数，在解此类问题时,要分为两层来分析，第一层是解关于 f(x)的方程，观察有几个 f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 f(x)的值求出每一个 f(x)被几个 x 对应，将 x 的个数汇总后即为g[f(x)]=0 的根的个数6、求解复合函数 y=g:f(x)]零点问题的技巧：)则 x2+x2+x2=123例 3:11已知函数f(x)=1x+I—Ix—Ixx关于x 的方程 f2(x)+af(x)+b=0(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 f(x),g(x)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 f(x)的方程 g[f(x)]=0 中 f(x)解的个数，再根据个数与 f(x)的图像特点，分配每个函数值 f(x)被几个 x 所对应，从而确i定 f(x)的取值范围，进而决定参数的范围i复合函数：、典型例题例 1:设定义域为 R 的函数 f(x)=<厂，若关于 x 的方程1,x=1f2(x)+bf(x)+c=0 由 3 个不同的解 x,x,x123思路：先作出 f(x)的图像如图：观察可发现对于任意的 y，满足 y=f(x)的 x 的个数 00分别为 2 个(y>0,y 丰 1)和 3 个(y=1)，已知有 3 个解，从而可得 f(x)=1 必为 000f2(x)+bf(x)+c=0 的根，而另一根为 1 或者是负数。所以 f(x)=1，可解得:i思路：可将Ix2—11 视为一个整体，即 t(x)=lx2—11，...
