高等数学（经济类）全书习题解答第4章（中值定理与导数应用）VIP专享VIP免费

习题解答习题 4.11. 验证罗尔定理对函数在区间上的正确性．解： 因为在区间上连续在内可导且, 所 以 由 罗 尔 定 理 知   至 少 存 在 一 点  使 得．而知， 由连续函数的介值定理知，确实存在使得．2. 函数在区间上是否满足柯西中值定理的条件？若满足条件，求出定理中的.解 容易验证在区间上满足柯西中值定理的条件．又 ，而，即 ，化简上式得：，故3. 不用求出函数的导数，说明方程有几个根？并指出它们所在的区间.（1）解 由于 f(x)在(－∞, ＋∞)内连续、可导，且 f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 0 所以 f(x)在[0, 1]、 [1, 2]、 [2, 3]上满足罗尔定理条件1因此存在、、，为的根．由于得最高次数为 3，因此只有三个根，分别在(0, 1), (1, 2), (2, 3)内．（2）解 容易验证在区间上满足罗尔定理的条件，因此存在为的根（无数个）；其中4. 设实数满足，证明方程在内至少有一个实根．证 明 ： 作 辅 助 函 数， 则在上 连 续 ， 在内 可 导 ， 且，．所以满足罗尔定理的条件．又， 由 罗 尔 定 理 知   至 少 存 在 一 点使得．即方程在内至少有一个实根．5. 利用中值定理证明下列不等式： （1） ；证明 (1)设则f(x)在[b a]上连续在(b a)内可导由拉格朗日中值定理存在( b a) 使 f(a)f(b)f ()(ab)即2而 所以 ． （2） ；证明 （ ）设 f(x)lnx则 f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在( ab)使 f(b)f(a)f ()(ba)，即  因为 ， 所以 ， 所以. （3） ；证明 （3）设则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理存在 使 即 而 所以 ．（4） .证明 （4）设则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理存在 使, 即：，因为，所以，从而所以 .6. 证明：3 证明 设，因为 所以其中 C 是一常数 取又因此 ．7. 若 函 数在 区 间内 具 有 二 阶 导 数 ， 且， 其 中， 证 明 ： 至 少 存 在 一 点，使得．证明：由题意可知在区间上连续在内可导，且．由罗尔定理，存在 使．类似地也存在 使．进一步，可知在区间上满足罗尔定理条件，因此存在，使得．8....