中考数学压轴题集锦精选 100 题（含答案） 一、中考压轴题 1．如图，在△ABC 中，∠BAC＝30°，以 AB 为直径的⊙O 经过点 C．过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P．点 D 为圆上一点，且＝，弦 AD 的延长线交切线 PC 于点E，连接 BC． （1）判断 OB 和 BP的数量关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 2，求 AE 的长． 【分析】（1）首先连接 OC，由 PC 切⊙O 于点 C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得 OB＝BP； （2）由（1）可得 OB＝OP，即可求得 AP 的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案． 【解答】解：（1）OB＝BP． 理由：连接 OC， PC 切⊙O 于点 C， ∴∠OCP＝90°， OA＝OC，∠OAC＝30°， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴∠COP＝60°， ∴∠P＝30°， 在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP； （2）由（1）得 OB＝OP， ⊙O 的半径是 2， ∴AP＝3OB＝3×2＝6， ＝， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝60°， ∠P＝30°， ∴∠E＝90°， 在Rt△AEP 中，AE＝AP＝×6＝3． 【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 2．如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝6，点P、Q 分别是AB 边和CD 边上的动点，点P 从点A 向点B 运动，点Q 从点C 向点D 运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x． （1）当PQ∥AD 时，求x的值； （2）当线段PQ 的垂直平分线与BC 边相交时，求x的取值范围； （3）当线段PQ 的垂直平分线与BC 相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ 的面积为S，求S 关于x的函数关系式，并写出S 的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD 是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可； （2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围； （3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值． 【解答】解：（1）当PQ∥AD 时，则 ∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°， 又 AB∥CD， ∴四边形APQD 是矩形， ∴AP＝QD， AP＝CQ， AP＝CD＝， ∴x＝4． （2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y． ∴（8﹣x）2+y2＝...
