1 .1 空间向量及其运算 1 .1 .1 空间向量及其线性运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1 .理解空间向量的概念．(难点) 2 .掌握空间向量的线性运算．(重点) 3 .掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 1 .通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养. 2 .借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养. 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1 ，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图 1 图 2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图 2 ，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1 ．空间向量 (1 )定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2 )长度或模：空间向量的大小． (3 )表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a 的起点是 A，终点是 B， 也可记作：AB→，其模记为|a|或|AB→|. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－a AB→的相反向量：BA→ 相等向量 相同 相等 a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 OB→ ＝OA→ ＋OC→ ＝a＋b 减法 CA→＝OA→ －OC→ ＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当 λ >0 时，λ a 与向量 a 方向相同； 当 λ <0 时，λ a 与向量 a 方向相反； 当 λ ＝0 时，λ a＝0；λ a 的长度是 a 的长度的|λ |倍． ②运算律 a．结合律：λ (μa)＝μ(λ a)＝(λ μ)a. b．分配律：(λ ＋μ)a＝λ a＋μa，λ (a＋b)＝λ a＋λ b. 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系． 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l 上取非零向量a，与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共...
