二阶常微分方程的几种解法VIP专享VIP免费

1 二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''( )yaybyf x通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''( )yaybyf x (1) 这里ba、 都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20kakb (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k。则方程(1) 可以写成 '''1212()( )ykkyk k yf x 即 '''212()()( )yk yk yk yf x 记'2zyk y , 则(1) 可降为一阶方程 '1( )zk zf x由一阶线性方程的通解公 ( )( )[( )]p x dxp x dxyeQ x edxc[5] (3) 知其通解为 1130[( )]xk xk tzef t edtc这里0( )x h t dt表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[( )]xk xk tdyk yzef t edtcdx 解得 2 12212()()340012[(( ))]kkxxuk xkkueyeef t dt ducckk 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()34001212121[( )( )]kkxkkxxxk xk tk teeyef t edtf t edtcckkkkkk 1122121200121[( )( )]xxk xk tk xk tkk xef t edtef t edtc ec ekk (4) 2 若特征方程有重根 k , 这时方程为 '''22( )ykyk yf x或'''()()( )ykyk ykyf x 由公式(3) 得到 '10[( )]xkxktykyeef t dtc 再改写为 '10( )xkxkxkteykeyef t dtc 即10()( )xkxktdeyef t dtcdx 故120()( )xkxktkxkxyext ef t dtc xec e (5) 例1 求解方程'''256xyyyxe 解 这里2560kk 的两个实根是2 , 3 2( )xf xxe.由公式(4) 得到方程的解是 332222321200xxxttxttxxyeete dteete dtc ec e 32321200xxxtxxxete dtetdtc ec e 2232132xxxxx ec ec e  这里321cc...