几何画板迭代全解 1 几何画板迭代全解 目 录 迭代的基本概念以及迭代的基本操作 迭代的概念 迭代在代数、几何中的应用 画正多边形 数列的图像、前 n 项和与积 迭代与分形几何 Sierpinski 三角形 Sierpinski 地毯 摇曳的Pythagorean Tree 毕达哥拉斯树 分形树 KOCH 曲线 KOCH Snowflake 柯克雪花 数学之美 H 迭代 蜂巢 其它分形欣赏 函数迭代：函数映射，M 集，朱丽亚集 迭代法求方程解 MIRA Henon-Attractor Mandelbrot 集合 Julia Sets 集合 牛顿迭代法 下期预告 几何画板迭代全解 2 第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义： !(1)!(1)!(1) (2)!nnnnnn 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第 n项。我们知道12nnaa，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1 作为原像，3 作为初像，迭代一次后得到 5，再迭代一次得到 7，如此下去得到以下数值序列 7 , 9，11, 13, 15......如图1.1 所示。 图 1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n边形这个例子来看一下它们的区...
