1 / 1 8 初 一数学奥林匹克竞赛题（含答案） 初一奥数题一 甲多开支100 元，三年后负债600 元．求每人每年收入多少？ S 的末四位数字的和是多少？ 4．一个人以3 千米/小时的速度上坡，以6 千米/小时的速度下坡，行程12 千米共用了3 小时20 分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数p 除以30 所得的余数一定不是合数． 8．若两个整数x，y 使x2+xy+y2能被9 整除，证明：x 和y 能被3 整除． 9．如图1－95 所示．在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 的中点为M，N，MN 的延长线与AB 边交于P 点．求证：△PCD 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半． 解答： 所以 x=5000(元)． 所以S 的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24． 3．因为 2 / 1 8 a-b≥0，即a≥b．即当b ≥a＞0 或b≤a＜0 时，等式成立． 4．设上坡路程为x 千米，下坡路程为y 千米．依题意则 有 由②有2x+y=20， ③ 由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20． 所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)． 5．第n 项为 所以 6．设p=30q ＋r，0≤r＜30．因为p 为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r 的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r 的最小质约数为2，3，5 时，p 不是质数，矛盾．所以，r 一定不是合数． 7．设 3 / 1 8 由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q)． 可知 m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以 m=1，2，3．下面分别研究 p，q． (1)若 m=1 时，有 解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去． (2)若 m=2 时，有 因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解． (3)若 m=3 时，有 解之得 故 p＋q=8． 8．因为 x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以 3｜(x2＋xy＋y2)，从而 3｜(x-y)2．因为 3 是质数，故 3｜(x-y)．进而 9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故 3｜xy．所以 3｜x 或 3｜y．若 3｜x，结合 3(x-y)，便得 3｜y；若 3｜y，同理可得，3｜x． 9．连结 AN，CN，如图 1－103 所示．因为 N 是 BD 的中点，所以 4 / 1 8 上述两式相加 另一方面， S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP． 因此只需证明 S△AND＝S△CNP＋S△DNP． 由于 M，N 分别为 AC，BD 的中点，所以 S△CNP=S△CPM-S△CMN =S△APM-S△AMN =S△ANP． 又 S△DNP=S△BNP，所以 S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△AN...
