初中数学概率与统计教学的难点与有效解决策略、 吴德尉 一、概率 （一）什么是概率 概率是研究随机现象的一门学科。随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？ 第一，就是它的不确定性，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。 第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性。所以有人把它叫做偶然中的规律性，我觉得是有一定的道理。如果一点规律都没有的话，可能就不会有这个学科的产生了。 那么，我们就回顾在上一节讨论中，提到的学生中提到的几个问题，现在我们来看，有一些东西我们是容易解决的，比如说有的学生提到的：我们猜想的是 1 0 个硬币中应该出现5 正 5 反，结果却出现了 9 正 1 反这样的极端情况，这是为什么？现在就很好理解了，因为它是不确定的，既可以出现 9 正 1 反，甚至也可能会出现 0 正 1 0 反，当然这种可能性就比较小，这正是不确定性的一种体会。 那么，这么不确定，怎么理解正面朝上的概率是 1 /2 呢。我们以通过技术来模拟的一个过程，来体会频率稳定在概率的意思。首先请老师们先把频率和概率这两个概念分清楚。 什么叫大量重复实验频率稳定在概率，我们可以看这个图，你会发现这个图的横坐标是实验的总次数，纵坐标是频率。并不是说我做了一万次以后，统计那时候的正面朝上的次数就正好是五千次，并不是这样。而是说有这么一个趋势，所以老师们现在在做概率实验中，有一个小的误区，就是现在也累加，但是就只看最后的结果。我也很费劲的做了三百次实验，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出来，结果一个 1 6 0 多，一个 1 3 0 多，好像不是 1 /2 ，觉得差得还挺多。它不是一定就是 1 /2 ，而是说这个趋势，老师们看这个图，开始的时候波动可能是比较大的，到后来也有波动大的情况但是非常少了，它逐步逐步就稳定在这样的一种情况，即正面朝上的频率稳定在 1 /2 。而且并不是实验次数越多就一定是越接近。 案例：一个非常优秀的老师上的一节课，她是用这个形式来体现频率稳定在概率的。首先做了 1 0 次实验，4 个小组，算出频率为 0 .5 ，0 .3 ，0 .6 ，0 .8 ，...
