复变函数积分方法总结 [ 键入文档副标题] acer [选取日期] 2 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…n)上任取一点k 并作和式Sn=∑f(ᵅ)nk−1(zk-zk-1)= ∑f(ᵅ)nk−1∆ zk 记∆ zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk 的长度 δ= max1≤k≤n{∆ Sk}(k=1,2…,n),当 δ →0时，不论对 c 的分发即k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫f(z)dzc=limδ 0∑f(ᵅ)nk−1∆ zk 设C 负方向(即 B 到 A 的积分记作) ∫f(z)dzc−.当 C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dzc (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dzc 2) ∫2zdzc,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲线。 （1） 解：当 C 为闭合曲线时，∫dzc=0. 3 f(z)=1 Sn=∑f(ᵅ)nk−1(zk-zk-1)=b-a ∴limn 0 Sn=b-a,即1)∫dzc=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dzc=0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdzc存在，设k =zk-1,则 ∑1= ∑Znk−1 （k −1）(zk-zk-1) 有可设k =zk，则 ∑2= ∑Znk−1 （k −1）(zk-zk-1) 因为Sn 的极限存在，且应与∑1 及∑2 极限相等。所以 Sn= (∑1+∑2)= ∑k−1nzk(zk2 −zk−12)=b2-a2 ∴ ∫2zdzc=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dzc得： ∫f(z)dzc= ∫udxc - vdy + i∫vdxc + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β) ∫f(z)dzc=∫ f(z(t))z(t)́ dtβα 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π) 例题1： ∫z2dz3+i0 积分路线是原点到3+i 的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t ∫z2dz3+i0=∫ [(3 +i)t]2[(3...
