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8 0 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理 1 )(0xf 存在)( 0xf)(0xf  . 定理 2 若)(xfy 在点0x 处可导，则)(xfy 在点 x0 处连续；反之不真. 定理 3 函数)(xf在0x 处可微)(xf在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(xvvxuu均可导，则 vuvu )(, dvduvud )( uvvuuv)(, vduudvuvd)( )0()(2vvvuuvvu， )0()(2vvudvvduvud （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 81 高阶导数公式：aaanxnxln)()( )0( a xnxee)()( )2sin()(sin)(nkxkkxnn )2cos()(cos)(nkxkkxnn nmnmxnmmmx)1()1()()( !)()(nxnn nnnxnx)!1()1()(ln1)( 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例 2.1 设0,00,1sin)(xxxxxfK , （K 为整数）.问： （1）当 K 为何值时，)(xf在0x处不可导； （2）当 K 为何值时，)(xf在0x处可导，但导函数不连续； （3）当 K 为何值时，)(xf在0x处导函数连续？ 解 函数)(xf在 x=0 点的导数： 0limx0)0()(xfxf0limxxfxf)0()(=0limxxxx K1sin)( = 0limxxx K1sin)(1 = 101 KK当，，当发散 即 1,01)0(KKf不存在， 当1K时, )(xf的导函数为： 0,00,1cos1sin)(21xxxxxKxxfKK 82 为使)(lim0xfx0)0(f，取2K即可。 因此，函数0,00,1sin)(xxxxxfK 当K≤1 时，)(xf在0x处不可导； 当2K时，)(xf在0x处可导，但导函数在0x处不连续； 当2K时，)(xf在0x处可导且导函数在0x处连续。 例 2.2 tgxxctgxxy1cos1sin22， ...