8 0 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 (1)导数,左导数,右导数,微分以及导数和微分的几何意义 (2) 定理与运算法则 定理 1 )(0xf 存在)( 0xf)(0xf . 定理 2 若)(xfy 在点0x 处可导,则)(xfy 在点 x0 处连续;反之不真. 定理 3 函数)(xf在0x 处可微)(xf在0x 处可导. 导数与微分的运算法则:设)(,)(xvvxuu均可导,则 vuvu )(, dvduvud )( uvvuuv)(, vduudvuvd)( )0()(2vvvuuvvu, )0()(2vvudvvduvud (3)基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 (1)复合函数微分法 (2)反函数的微分法 (3)由参数方程确定函数的微分法 (4)隐函数微分法 (5)幂指函数微分法 (6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法:对数求导法(即先对式子的两边取自然对数,然后在等式的两端再对x 求导). (7)分段函数微分法 3. 高阶导数 (1)定义与基本公式 81 高阶导数公式:aaanxnxln)()( )0( a xnxee)()( )2sin()(sin)(nkxkkxnn )2cos()(cos)(nkxkkxnn nmnmxnmmmx)1()1()()( !)()(nxnn nnnxnx)!1()1()(ln1)( 莱布尼兹公式: (2)高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例 2.1 设0,00,1sin)(xxxxxfK , (K 为整数).问: (1)当 K 为何值时,)(xf在0x处不可导; (2)当 K 为何值时,)(xf在0x处可导,但导函数不连续; (3)当 K 为何值时,)(xf在0x处导函数连续? 解 函数)(xf在 x=0 点的导数: 0limx0)0()(xfxf0limxxfxf)0()(=0limxxxx K1sin)( = 0limxxx K1sin)(1 = 101 KK当,,当发散 即 1,01)0(KKf不存在, 当1K时, )(xf的导函数为: 0,00,1cos1sin)(21xxxxxKxxfKK 82 为使)(lim0xfx0)0(f,取2K即可。 因此,函数0,00,1sin)(xxxxxfK 当K≤1 时,)(xf在0x处不可导; 当2K时,)(xf在0x处可导,但导函数在0x处不连续; 当2K时,)(xf在0x处可导且导函数在0x处连续。 例 2.2 tgxxctgxxy1cos1sin22, ...