数列中分奇偶数项求和问题陕西省吴起县高级中学鲁俊数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数 n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异；例 1：求和：n 1nSn-3⋯ （-1 ）（4）nN解：当 n 为偶数时： S159 1342nnnnn当 n 为奇数时：1 59 134n 32nS（4 -3）（4 - ）n-1nnnn二、相邻两项之和为常数；例 2：已知数列 {a n} 中 a1=2，an+an+1=1，Sn 为{a n} 前 n 项和，求 Sn解：①当 n 为偶数时：12341nnnSaaaaaa⋯12341()()()122nnnnaaaaaa⋯②当 n 为奇数时：123451()()()nnnSaaaaaaa⋯13222nn三、相间两项之差为常数；例 3：已知数列 {a n} 中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn 为{a n}前 n 项和，求 Sn解：∵ an- an-2=2 （n≥3）∴a1,a 3,a 5, ⋯,a 2n-1 为等差数列； a2,a 4,a 6, ⋯,a 2n 为等差数列当 n 为奇数时：11(1) 22nnan当 n 为偶数时：4(1) 222nnan即 n∈N+时，1( 1)nnan∴①n 为奇数时：1(1)(1 23)2122nnn nSnn⋯②n 为偶数时：(1)(1 23)222nnn nSnn⋯四、相间两项之比为常数；例 4：已知 an，an+1为方程21( )03nnxC x的两根 n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+⋯+Cn，求 an 及 S2n。解：依题意：11( )3nnnaa∴213nnaa其中1212,6aa。∴13521,,,...,na aaa为等比数列；2462,,,...,naaaa为等比数列∴①n 为偶数时：11222211 11 1( )( )( )36 32 3nnnnaa②n 为奇数时：11122112( )2( )33nnna则有：12212( )21()31 1( )2 ()2 3{nnnnkkNank kN而 Cn=an+an+1∴① n 为奇数时， n+1 为偶数：111222111 113 12( )( )( )32 363nnnnnnCaa则：1352113163113nnCCCC（1-）⋯②n 为偶数时，n+1 为奇数：22211 115 1()2()()2 332 3nnnnnnCaa则：于是：24625163113nnCCCC（1-）⋯21234212...11(1)(1)1359133..(1)1166231133nnnnnnScccccc
