数学分析求极限的技巧VIP免费

1 / 10 求极限的方法具体方法⒈利用函数极限的 四则运算法则 来求极限定理 1①：若极限)(lim0xfxx和)(limxgxx都存在，则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0xx时也存在且①)()()()(limlimlim0.00xgxfxgxfxxxxx②)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx又若0)(lim0xgxx，则)()(xgxf在0xx时也存在，且有)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子 、分母中的零因子 ，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例 1：求2422limxxx解：原式 =02222limlim22xxxxxx⒉用两个重要的极限 来求函数的极限①利用1sinlim0xxx来求极限1sinlim0xxx的扩展形为：令0xg，当0xx或 x时，则有1sinlim0xgxgxx或1sinlimxgxgx2 / 10 例 2：xxxsinlim解：令t=x . 则 sinx=sin( t)=sint, 且当 x时0t故1sinsinlimlim0ttxxtx例 3：求11sin21limxxx解：原式 =211sin1111sin122121limlimxxxxxxxxx②利用exx)11(lim来求极限exx)11(lim的 另 一 种 形 式 为e10)1(lim.事 实 上 ， 令.1x x.0 所以xxxe)11(lime10)1(lim例 4: 求xxx10)21(lim的极限解：原式 =221210)21()21(limexxxxx利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是 换元法 和配指数法 。⒊利用等价无穷小量 代换来求极限所谓等价无穷小量即.1)()(lim0xgxfxx称)(xf与)(xg是0xx时的等价无穷小量，记作)(xf)(~xg.)(0xx.定理 2②：设函数)(),(),(xhxgxf在)(00 xu内有定义，且有)(xf)(~xg.)(0xx3 / 10 ① 若,)()(lim0Axgxfxx则Axhxgxx)()(lim0② 若,)()(lim0Bxfxhxx则Bxgxhxx)()(lim0证明：①AAxhxfxfxgxhxgxxxxxx1)()()()()()(limlimlim000②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例 5：求30sinsintanlimxxxx的极限解：由).cos1(cossinsintanxxxxx而)0(,~sinxxx；,2~cos12xx（ x0）；33sinxx3~ x ,（ x0） .故有30sinsintanlimxxxx= lim0x212cos132xxxx注：由上例可以看出， 欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等 价 无 穷 小 量 ， 如 ： 由 于1s i nlim0xxx， 故 有xs i n).0(,~xx又 ...