数学的分类纵向：初等数学和古代数学 17世纪以前数量数学 17-19世纪近代数学 19世纪现代数学 20世纪横向：基础数学（代数、几何、分析）应用数学计算数学概率论与数理统计运筹学与控制论国外：纯粹数学、应用数学、概率论第一讲数学科学前沿简介一、 20 世纪数学研究的简单回顾站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900 年 8 月 6 日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38 岁的德国数学家希尔伯特 (Hilbert, 1862--1943)所发表的题为 《数学问题》 的著名讲演。 他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势， 提出了 23 个最重要的数学问题。 这 23 个问题通称希尔伯特问题。这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20 世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这23 个问题中，头 6 个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。到了 1905 年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907 年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功， 唯独不能应用于万有引力问题。 为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。大约在1911 年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。 因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几 何。 1915 年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。德国女数学家诺特（ Emmy Noether 1882~1935）发表的论文《 Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数现代化开端。她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。还有其它许多数学大成果。 20 世纪近 50 名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。 但从数学以外， 或从推动社会发展这个角度来看，也许与计算机的算法研究有关的数学， 更有影响。 这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学家（图灵、哥德尔、冯. 诺依曼），而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用，因此被列入20 世纪“百年百星”的名单中。另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家（康托洛维奇、纳什）也是与算法研究（或军事数学）有关，后者被拍成电影，...
