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数学的分类纵向:初等数学和古代数学 17世纪以前数量数学 17-19世纪近代数学 19世纪现代数学 20世纪横向:基础数学(代数、几何、分析)应用数学计算数学概率论与数理统计运筹学与控制论国外:纯粹数学、应用数学、概率论第一讲数学科学前沿简介一、 20 世纪数学研究的简单回顾站在数学内部看,上个世纪的数学必须归结到1900 年 8 月 6 日,在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上,38 岁的德国数学家希尔伯特 (Hilbert, 1862--1943)所发表的题为 《数学问题》 的著名讲演。 他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势, 提出了 23 个最重要的数学问题。 这 23 个问题通称希尔伯特问题。这一演说成为世界数学史发展的里程碑,为20 世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这23 个问题中,头 6 个问题与数学基础有关,其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。到了 1905 年,爱因斯坦创立了狭义相对论(事实上,有两位数学家,庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口),1907 年,他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功, 唯独不能应用于万有引力问题。 为了解决这个矛盾,爱因斯坦转入了广义相对论的研究,并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”,但数学上碰到的困难使他多年进展不大。大约在1911 年前后,爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关,是时空弯曲的结果。 因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几 何。 1915 年,爱因斯坦终于用黎曼几何的框架,以及张量分析的语言完成了广义相对论。德国女数学家诺特( Emmy Noether 1882~1935)发表的论文《 Idealtheorie in Ringbereiche(环中的理想论)》标志着抽象代数现代化开端。她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考:如同态、理想、算子环等等。还有其它许多数学大成果。 20 世纪近 50 名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。 但从数学以外, 或从推动社会发展这个角度来看,也许与计算机的算法研究有关的数学, 更有影响。 这种研究发生在第二次世界大战前后,有三位数学家(图灵、哥德尔、冯. 诺依曼),而不是工程师,由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用,因此被列入20 世纪“百年百星”的名单中。另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家(康托洛维奇、纳什)也是与算法研究(或军事数学)有关,后者被拍成电影,...

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