线性代数第四章相似矩阵习题VIP免费

第四章 相似矩阵 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1) 931421111),,(321aaa； (2) 011101110111),,(321aaa 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令11111ab， 101,,1112122bbbabab， 12131,,,,222321113133bbbabbbbabab，故得: 311132013111),,(321bbb． 2．下列矩阵是不是正交阵: (1) 121312112131211; (2) 979494949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设 A与 B都是n 阶正交阵，证明 AB 也是正交阵． 证明 因为BA,是n 阶正交阵，故AAT1，BBT1 EABABABABABABTTT11)()(，故AB 也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)4211; (2)633312321; (3))0(,12121aaaaaaann. 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(4211EA 故 A的特征值为3,221． ② 当21 时,解方程0)2(xEA,由 00112211)2(~EA 得基础解系111P 所以)0(111kPk是对应于21 的全部特征值向量． 当32 时,解方程0)3(xEA,由 00121212)3(~EA 得基础解系1212P 所以)0(222kPk是对应于33 的全部特征向量． ③ 023121)1,1(],[2121PPPPT 故21, PP不正交． (2) ① )9)(1(633312321EA 故 A的特征值为9,1,0321． ② 当01 时，解方程0Ax，由 000110321633312321~A得基础解系1111P 故)0(111kPk是对应于01 的全部特征值向量. 当12时,解方程0)(xEA，由 000100322733322322~EA得基础解系...