§2 连续函数的性质 (一) 教学目的： 掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容： 连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求： 1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质． 2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别． (三)教学建议： 1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性 ———————————————————————————— 一 连续函数的局部性质 根据函数的在0x 点连续性，即)()(lim00xfxfxx可推断出函数)(xf在0x 点的某邻域)(0xU内的性态。 定理 4.2（局部连续性）若函数)(xf在0x 点连续，则)(xf在0x 点的某邻域内有界。 定理 4.3（局部保号性）若函数)(xf在0x 点连续，且0)(0 xf，则对任意 0存在0x 某邻域 )(,)(00xUxxU 时，0)( xf 定理 4.4（四则运算性质）若函数则)(,)(xgxf在区间 I 上有定义，且都在Ix 0 连续，则)(/)(,)()(,)()(xgxfxgxfxgxf（0)(0 xg）在0x 点连续。 例 因xycy 和连续，可推出多项式函数 nnnnaaxaxaxP1)1(10)( 和有理函数QP, ( )()()(xQxPxR为多项式）在定义域的每一点连续。同样由Rxx在和cossin上的连续性，可推出xtan与xcot 在定义域的每一点连续。 定理4.5（复合函数的连续性）若函数)(xf在0x 点连续，)(ug在0u 点连续，)(00xfu ，则复合函数))((xfg在0x 点连续。 证明 由于 g 在0u 连续，对任给的0，存在 01 ，使10uu时有 )()(0ugug （1） 又由)(00xfu 及)(xfu 在连续，故对上述01 ，存在0，使得当0xx时，有100)()(xfxfuu.联系（1）得: 对任给的0，存在 0，当0xx时有 ))(())((0xfgxfg. 这就证明了fg 在点0x 连续. 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为 ))(())(lim())((lim000xfgxfgxfgxxxx (2) 例 1 求)1sin(lim21xx. 解 )1sin(2x可...
