2013年全国高中数学联赛一试试题VIP免费

2013 年全国高中数学联赛一试试题 一．填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共64 分。 1.设集合3,1,0,2A，集合AxAxxB22,，则集合B 中所有元素的和为 2.在平面直角坐标系xOy 中，点A、B 在抛物线xy42 上，满足4OBOA，F 是抛物线的焦点，则OFBOFA SS= 3.在ABC中，已知CBACBAcoscos10cos,sinsin10sin，则Atan的值为 4.已知正三棱锥ABCP 的底面边长为1，高为2 ，则其内切球半径为 5.设a、b 为实数，函数baxxf)(满足：对任意]1,0[x，有 1)(xf，则ab的最大值为 6.从20,,2,1中任取 5 个不同的数，其中至少有2 个是相邻数的概率为 7.若实数x，y 满足yxyx24，则x的取值范围是 8.已知数列 na共有9 项，其中191aa，且对每个8,,2,1i均有21,1,21iiaa，则这样的数列的个数为 二．解答题：本大题共3 小题，共5 6 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16 分）给定正数数列 nx满足,,3,2,21 nSSnn这里nnxxS1. 证明：存在常数0C,使得 ,2,1,2nCxnn 10.（本题满分20 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222babyax， 21, AA分别为椭圆的左、右顶点，21, FF分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A的任意一点.若平面中有两个点RQ,满足22112211,,,PFRFPFRFPAQAPAQA, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。 11.（本题满分20 分）设函数baxxf2)(，求所有的正实数对),(ba，使得对任意实数yx,均有)()()()(yfxfyxfxyf 2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题 一．（本题满分40 分）如图，AB 是圆 的一条弦，P 为弧AB 内一点，E、F 为线段 AB 上两点，满足 AE=EF=FB.连接 PE、PF 并延长，与圆 分别项交于点C、D.求证： BDACCDEF (解题时请将图画在答卷纸上) 二．（本题满分40 分）给定正整数u、v.数列 na的定义如下：vua1，对整数1m， .,122vaauaammmm 记),2,1(21maaaSmm.证明：数列 nS中有无穷多项是完全平方数。 三．（本题满分50 分）一次考试共有 m 道试题，n 个学生参加，其中 2,nm为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有 x 个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得 x ...