2018 年上海市高三数学竞赛试题 时间：2 小时，满分：120 分 姓名 一、填空题（本大题满分60 分，前4 小题每小题7 分，后4 小题每小题8 分） 1．集合22{( , )100,x y xy且,}x yZ的元素个数是 ． 2．设函数( )f x 是RR的函数，满足对一切Rx，都有( )(2)2f xxfx，则( )f x的解析式为( )f x = ． 3．已知椭圆22221(0)xyabab，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O的弦，则ABF面积的最大值为 ． 4．设集合1 1 1111{ ,,,,,}2 7 11 13 15 32A 的非空子集为1263,,,A AA ，记集合iA 中的所有元素的积为(1,2,,63)ip i （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263ppp= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数, ,a b c 满足2221abc，记abbcca的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm= ． 7．在三棱锥PABC中，已知 3,1,2ABACPBPC，则22ABCPBCSS的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018 个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A其中⊙kA 的圆心为21(,)4kkkA aa，半径为21(1,2,,2018)4kak ，这里12201812018aaa，且⊙kA 与⊙1kA 外切(1,2,,2017)k ，则1a = ． 二、解答题（本大题满分60 分，每小题15 分） 9．已知三个有限集合, ,A B C 满足ABC ． （1）求证：1 ()2ABCABC（这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25xyzw的满足xy的正整数解( , , ,)x y z w 的组数． 11．设, , ,a b c d 是实数，求2222abcdabacadbcbdcdabcd的最小值． 12 ．设n 为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xoy 中的点集{( , ), ,}Tx yxyn x yZ对T 中的两点,P Q ，当且仅当2PQ 或PQ 与两条坐标轴之一平行时，称,P Q 是“相邻的”，将T 中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．
