平面几何问题:1. 梅涅劳斯定理一直线分别截△ ABC的边 BC、 CA、AB(或其延长线)于 D、E、F,则1FBAFEACEDCBD。背景简介: 梅涅劳斯( Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。证明:说明 :( 1)结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况,因而本题图形应该有两个。( 2)结论的结构是三角形三边上的6 条线段的比,首尾相连, 组成一个比值为1 的等式。( 3)梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题,而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键,在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。梅涅劳斯定理的逆定理:如果有三点 F、D、E 分别在△ ABC的三边 AB、 BC、CA或其延长线上,且满足1EACEDCBDFBAF,那么 F、D、E三点共线。利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。梅涅劳斯定理练习1.设 AD是△ABC的边 BC上的中线, 直线 CF交 AD于 F。求证:FBAF2EDAE。2.过△ ABC的重心 G的直线分别交AB、 AC于 E、F,交 CB延长线于 D。求证:1FACFEABE。3. 在△ ABC中,点 D 在 BC 上,31DCBD,分别在AB, AD 上,32EBAE,21GDAG,EG交 AC于点 F,求FCAF 。4. 在 □ABCD中,E,F 分别是 AB,BC的中点,AF 与 CE 相交于G,AF 与 DE 交于 H,求AH:HG:GF5. 设 D 为等腰 Rt△ ABC(∠ C=90° )的直角边 BC的中点, E 在 AB上, 且 AE:EB=2:1,求证: CE⊥AD6. 在△ ABC中,点 M和 N顺次三等分 AC,点X 和 Y 顺次三等分 BC,AY与 BM,BN分别交于点 S,R,求四边形 SRNM与△ ABC的面积之比。