正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a，则（ 1） 全面积 S 全= 3 a2；（ 2） 高 h= 6 3 a；（ 3） 体积 V= 2 12 a3；（ 4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d= 2 2 a；（ 5） 相邻两面所成的二面角α =arccos13；（ 6） 棱与其相交的面所成的角β =arctan2 ；（ 7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径r ＝6 12 a，外接球半径 R＝6 4 a，r ︰R=1︰3；（ 8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例 1：已知半径为 1 的球面上有 A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为π3 ，则球心 O到平面 ABC的距离为（）A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7C B O A C A B D 解析：如右图所示，OA=OB=OC=1 又3⌒⌒⌒CABCAB，球的半径 r =1 ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COA=π3 ，则 AB=BC=CA=1 所以 O- ABC为棱长为 1 的正四面体，则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为6 3 ，答案 B。例 2：（05 年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD有内切球 O，经过该棱锥A- BCD的中截面为 M，则 O到平面 M的距离为（）A a4 B 6 6 a C 6 12 a D 2 8 a 解析 ：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r =6 12 a，中截面到底面的距离为高的一半6 6 a，则 O到平面 M的距离为6 6 a－6 12 a=6 12 a，因此选 C。例 3：（ 06 年陕西卷）将半径为R的四个球两两相切地放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为。解析 ：注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心分别为A、B、C、D，因为四个球两两相切，则ABCD是棱长为2R的正四面体， A到面 BCD的距离为26 3R，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为 R+26 3R=（1+26 3）R。例 4：（06 年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中， AB=2DC=2，∠DAB=60○，E为 AC的中点，将△ ADE与△ BEC分别沿 ED、EC向上折起，使A、 B重合于点 P，则三棱锥 P- DCE的外接球的体积为（）D C A B D C A E B A43 27 πB 6 2 πC6 8 πD6 24 π解析 ：三棱锥 P- DC...
