下载后可任意编辑傅里叶分析应用于热传导问题(物理系 郭素梅 指导老师 陆立柱) 〔摘要〕 傅里叶分析是一种重要的数学工具,本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题,并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分,用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题,用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题,比其它方法更系统,体现出一种数学与物理对应的美感。〔关键词〕 傅里叶级数 傅里叶积分 傅里叶变换 细杆的热传导问题引言1822 年,傅里叶在讨论热传导问题时,制造了傅里叶分析,随着时代的进步,这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和进展前景的工具是十分必要的.热传导是历来讨论的热点,尤其是随着计算机电子设备的高集成化进展,机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加,传统的强制冷方式已不能达到理想效果,因此,热传导设计成了重要问题。万变不离其宗,为了更好地掌握傅里叶分析,为了更好地掌握热传导问题,本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。1. 傅里叶分析1.1 傅里叶级数傅里叶级数在应用上有以下优点:能表示不连续的函数、周期函数,能对任意函数作调和分析。若函数以为周期,即 (1.1.1)则可取三角函数族1, cos,cos, … cos ,… sin,sin, … sin , … (1.1.2)作为基本函数族,将展开为级数 =+cos+cos) (1.1.3)可以证明,函数族(1.1.2)是正交完备的。根据三角函数族的正交性,可求得(1.1.3)中的展开系数为下载后可任意编辑 (1.1.4)其中 (1.1.3)称为周期函数的傅里叶级数展开式,其中的展开系数(1.1.4)称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题,有 Dirichlet 定理。 若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数计算公式(1.1.4)可见,及诸均等于零,展开式(1.1.3)为=, (1.1.5)这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性,其展开系数为 (1.1.6)同理,若周期函数是偶函数,则=+ (1.1.7)这叫做傅里叶余弦级数,其中, (1.1.8)对于只在有限区间,例如在上有定义的函数,可实行延拓的方法,使其成为某种周期函数,而在上,。然后再对作傅里叶级数展开,其级数和在区间上代表 f(x),由于 f(x)在 x=0 和 x=l 无定义,因此可以有无数种延拓方式,因而有无数种展开式,它们在上均代表.有时,对函数在边界(区间的端点)上的行为提出限制,即满足一定的边界条件,这常常就决定了如何延拓。例如要求...