第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法 106 §3-2 最简原函数表·分项积分法 为了求积分，根据牛顿-莱布尼茨公式，需要求原函数.求原函数的方法称为积分法.像微分法那样，莱布尼茨为积分法也设计出了一个方案： 列出少数几个求原函数的规则和公式.求原函数时，按照规则和公式做就行了. 为了求原函数，莱布尼茨当初用记号"" 作为微分运算符号" d" 的逆运算符号，并用( )dfxx表示函数( )fx的原函数.因此， d( )d( )dfxxfxx， d ( )( )fxfx [d 与接连运算相互抵消] 例如，因为 d(cos)d(cos)(sin)dsindxxxxxx 所以 sindd(cos )cosxxxx 而且，牛顿-莱布尼茨公式也可以写成 ( )d( )dbbaafxxfxx 例如， 222222sindsindcoscoscos00022xxxxx 即图3-6中那个图形面积的代数和为0 . 但是它的 真正面积应当是 222020sind2sind2(cos )Sxxxxx 2cos(cos0)22 （单位平方） 【注释】在口语中，我们也把( )dfxx称为函数( )fx的“积分”（它实际上是函数）.为了把 ( )dbafxx 与 ( )dfxx 在名称上区别开来，近代微积分中称前者为定积分，而称后者为不定积分(在本书中把它看作原函数的同义词（*）).读者已经知道，函数( )fx在某区间上的任意两个原函数只能相差一个常数，因此，若( )F x是函数( )fx在某区间上的任意一个原函数，则它在该区间上原函数的一般表示为 ( )d( )f xxF xc（其中c 为待定常数） （*）[俄]辛钦在名著《数学分析简明教程》中就不用“不定积分”这个术语，始终称它为原函数。 x y O 2 图3-6 2 sinyx §3-2 最简原函数表·分项积分法 107 但是为了演算简单起见，在积分法中常用( )dfxx表示某一个原函数（即可以不加那个待定．．．．．．．．常数．．）. 1.最简原函数表 下面这些求原函数的公式，都是从简单初等函数的微分公式倒推(反演)出来的，要验证它们就将右端再微分(还原). ⑴ dkxkxc (k 为常数) ⑵ 11d (1)1xxxc 特别, 211dxcxx , 322d3xxxc, 1d2xxcx ⑶ 1 dln ||xxcx（见下注 1） ⑷ dlnxxaaxca. 特别，e dexxxc ⑸ sindcosxxxc ⑹ cosdsinxxxc ...
