浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1 卷）（20017—— 2018 学年第一学期）考试类别使用学生数学专业 ** 本科考试时间 120 分钟表出卷时间 *年*月*日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空（ 30 分）1、d（1000）= 。 φ（1000）= 。 (10174)=______ 。2、 ax+bY=c 有解的充要条件是。3、20022002被 3 除后余数为。4、[X]=3 ，[Y]=4 ，[Z]=2 ，则 [X — 2Y+3Z] 可能的值为。5、φ（1）＋ φ（P）＋⋯ φ（nP ）=。6、高斯互反律是。7、两个素数的和为31，则这两个素数是。8、带余除法定理是。答案1、16．2340，1 2、（ a，b）|c 3、1 4、3，4，5，6，7，8，9，10，11 5、np6、)()1()(2121qppqqp，p，q 为奇素数7、2，29 8、a，b 是两个整数， b>0,则存在两个惟一的整数q，r 使得brrbqa0,二、解同余方程组（12 分）答案解：因为（ 12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2）所以同余式组有解)15(mod1)10(mod6)12(mod2xxx原方程等价于方程)5(mod1)3(mod1)5(mod6)2(mod6)3(mod2)4(mod2xxxxxx即)5(mod1)3(mod2)4(mod2xxx由孙子定理得)60(mod46x三、A、叙述威尔逊定理。B．证明若)(mod01)!1(mm，则 m 为素数（ 10 分）答案A．( 威尔逊定理 ) 整数是素数，则证：若 m不是素数，则m=ab，mba,1，则1)!1(|,)!1(|mama，则有1|a不可能，所以m是素数。四．解方程474xx≡0（mod２７）（10 分）答案解：由474xx≡0（mod3）得)3(mod1x得 x=1+3t 代入474xx≡0 （mod9）有)3(mod111t有131tt代入 x=1+3t 得194tx代入474xx≡0 （mod27）有)3(mod21t2132tt代入有22722tx，即)27(mod22x设 2Ｐ+1 为素数 ,试证)12(mod0)1()!(2ppp（ 10 分）答案证：因 n=2Ｐ+1 为素数，由威尔逊定理)(mod01)!1(nn即有)(mod1)()2(2)1(1123)2)(1(1)!1(npnpnnnnn)12(mod01)1()!(2ppp即证六、设P=4n+3 是素数，证明当q=2p+1 也是素数时，梅森数12PPM不是素数。（ 10分）答案证：因 q=8n+7，由性质 2 是 q=8n+7 的平方剩余，)(mod1)2(qq即12|34nq所以梅森数12PPM不是素数。七、证33393zyx无正整数解。 （8 分）答案证：假设33393zyx有解，设（ x，y，z）是一组正整数解，则有x 是 3 的倍数，设 x=3x1,又得到 y 为 3 的倍数，设13yy,又有13zz，31313193zyx则有解),,(111zyx且 z>z1这样可以一直进行下去， z>z1>z2> z3>z4>⋯但是自然数无穷递降是不可能的，于是...
