勾股定理及逆定理的综合应用 一、勾股定理的逆定理 逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 逆定理说明： ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。 ②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222abc时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222abc时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形。 二、实际应用定理中的注意问题 1. 定理中a ，b ，c 及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222acb，那么以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边； 2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 三、勾股定理逆定理的几种典型应用 总结： 1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系； 2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。 例题 1 如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且 AD=8.5，则 BC 的长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 解析：延长AD 至 E 使 ED=AD，利用好“AD 是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出 BD 的长度了，再根据 BC=2BD，所以 BC 的长也就求出了。 答案：解：延长AD 至E，使DE=AD；连接B E， AD=8.5，∴AE=2×8.5=17， 在△ADC 和△EDB 中，AD＝DE ∠ADC＝∠EDB BD＝CD， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289， ∴∠ABE=90°， 在Rt△BED 中，BD 是中线， ∴BD= 21AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。故选 C。 例题 2 勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则 D，E，F，G，H，I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为（ ） A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 解析：延长AB 交 KF 于点...
