函数的值域与最值VIP免费

函数的最值（值域）一、相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。二、基本函数的值域1、一次函数的定义域为R，值域为R；2、二次函数的定义域为R，3、反比例函数的定义域为{x|x0}，的值域为4、指数函数的值域为。5、对数函数的值域为R；6、分式函数的值域为。三、求函数值域的方法（1）观察法(用非负数的性质，如：；；等)例如：求下列函数的值域：;变式：（2）直接法：利用常见函数的值域来求，例如：下列函数中值域是（0，+）的是（）A．B.C.D.解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为[0,+）,C的值域为[0,1],D的值域为[2,+).答案：B（3）配方法：常可转化为二次函数型，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域：；解析：通过配方可得；开口向上，所以当时，函数取最小值；当x时，在时，函数的最小值为；最大值在x=3时取到，；故其值域为[,13];练习：例：求函数的值域。解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出：。说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：。变式1：求函数y=的值域.（答：（0,5]）变式2：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；变式3：（1）求最值。（-----动轴定区间）（2）求的最值（----------定轴动区间）变式4：已知sinx＋siny＝，则函数μ＝sinx－cos2y的最大值为________；最小值为_________。答案：。解析：（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例、求函数的值域。解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式1：求函数的值域.解析：令（t0），则，故；用配方法求的y的值域为。变式2：的值域为_____（答：）；变式3：的值域为____（答：）；变式4：函数的值域为____（答：[，1]）(提示：三角代换)变式5：求函数的值域（答：[,8]）(提示：令t=，)。变式6：已知是圆上的点，试求的值域。解：在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令则p)即故例：试求函数的值域。解：题中出现而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：（5）分离常数法（分式转化法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成(常数)的形式来求值域．例：求函数的值域。解:观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有不妨令：从而注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所故另解：观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,进而可得到y的值域。（6）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：例：求函数的值域。B解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得即反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。变式1：函数y=的值域是（）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y==－1. 1+x2≥1，∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.解法二：由y=，得x2=. x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1.解法三：令x=tanθ（－＜θ＜），则y==cos2θ. －π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.答案：B变式2:求函数的值域变式3:求函数，及的值域（7）利用判别式法针对分式型，尤其是分母中含有时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例：求函数的值域。解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△,△细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（...