初中数学模型--半角模型

半角模型 模型 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形已知如图：∠2=∠AOB，OA=OB。连接 FB，将△FOB 绕点 O 旋转至△F′OA 的位置，连接 F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。基本模型（1）——正方形内含半角如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。 F'4123OAEFBFEBA321O基本模型（2）——等边三角形内含半角基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是 90°含 45°，120°含 60°。核心母题 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 变式一：如图，E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点,若△ECF 的周长是 2，求∠EAF 的度数? 变式二：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF，求证：AG=AB. 综合：在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=45 ②.ABC CMN2③.AM、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM. 练习 1、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N 分别是 AB、BC上的点，若△BKN 的周长是 AB 的 2 倍，求∠KDN 的度数？ 2、已知：正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N．当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时（如图 1），易证 BM+DN=MN．（1）当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时（如图 2），线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM、DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．3、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 2∠EAF=∠BAD，（1）求证：EF=BE+FD（2）如果 E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。 4、如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE. 5、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形 ABCDE 的面积． 6、如图...