辅助圆思想【例1】 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． ⑴ 若且点与点重合（如图 1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； ⑵ 在图 2 中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（2012 年北京中考节选）【解析】 ⑴ 图略，． ⑵ 如图，连接， 根据对称性可知，， 以为圆心、长为半径作， 则， ∴．【例2】 已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点．图1NMOPDCBA 图2NMOPDCBA ⑴ 如图 1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是___________，此时________； ⑵ 如图 2，若、、三点在同一直线上，且，证明，题型一：共顶点等线段MQDPCBA1并计算的值（用含的式子表示）；（海淀一模）【解析】 ⑴ 等边三角形，1； ⑵ 证明：连接、．由题意，得，，． 、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．∴． 为中点，∴在中，．在中，．∴．∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．∴．又 ，∴．∴．∴．由题意，，又．∴．∴．在 Rt中，． ，∴．∴．【例3】 已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；RBPCADOGSM 321GNSHODACMPBR【解析】与的数量关系是相等 ． 常规证法：过点作，，垂足分别为点． ，易得，∴，题型二： 共斜边的直角三角形PONMDCBA2而，∴． 是的平分线，∴，又 ，∴．∴． 辅助圆证法： ，∴四点共圆， 平分，∴，∴．【例4】 如图，四边形 ABCD 是正方形， M 是 BC 上一点， MEAM交BCD的外角平分线于 E ，求证： AMEM．ABCDEM MEDCBA【解析】连接 ACAE、 四边形 ABCD 是正方形，∴45ACD ， CE 是外角平分线，∴45DCE ，∴90ACE ， 90AME ，∴ AMCE、、 、四点共圆，∴45AEMACB ，∴45EAM ，∴ AMEM．【例5】 在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点 P 处，三角板的两直角边分别能与 AB、BC 边相交于点 E、F，连接 EF． ⑴ 如图，当点 E 与点 B 重合时，点 F 恰好与点 C 重合，求此时 PC 的长； ⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点 A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、...
