角平分线模型模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。 模型证明∵PQ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP 是∠MON 的平分线∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ 是等腰三角形模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型实例解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF EF=ED+DF=BE+CF∴ （2）∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC又 BD 平分∠ABC∴∠DBE=∠DBC∴∠EDB=∠DBE∴△EBD 为等腰三角形∴BE=ED同理可证：FD=CF EF=ED-FD=BE-CF∴ EF=BE-CF∴ （3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）模型练习 1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 。解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN MN=ME+EN=∴BM+CN=92．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC求证：EF∥AB。解析：3．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 CD 上， 且 AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC。 求证：AD=AB-BC。
