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函数与方程思想在数列中应用VIP免费

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典例4[2015·湖北高考]设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)由题意有,即解得或故或(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+++++…+,①Tn=+++++…+.②①-②可得Tn=2+++…+-=3-,故Tn=6-.数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点,其一般解题步骤是:第一步:分析数列式子的结构特征.第二步:根据结构特征构造“特征”函数(方程),转化问题形式.第三步:研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质,主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题.【针对训练4】[2016·东城模拟]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn=++…+,若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.解(1)因为a1=2,a=a2·(a4+1),又因为{an}是正项等差数列,故公差d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以数列{an}的通项公式an=2n.(2)因为Sn=n(n+1),bn=++…+=++…+=-+-+…+-=-==,令f(x)=2x+(x≥1),则f′(x)=2-,当x≥1时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=,要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,则须使k≥(bn)max=,所以实数k的最小值为.数列1.等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d.2.等差数列前n项和公式:Sn==na1+.3.等比数列通项公式:an=a1·qn-1.4.等比数列前n项和公式:Sn=.5.等差中项公式:2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2).6.等比中项公式:a=an-1an+1(n∈N*,n≥2).7.数列{an}的前n项和与通项an之间的关系:an=.[重要结论]1.通项公式的推广:等差数列中,an=am+(n-m)d;等比数列中,an=am·qn-m.2.增减性:(1)等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列;若公差小于零,则数列为递减数列.(2)等比数列中,若a1>0且q>1或a1<0且00且01,则数列为递减数列.3.等差数列{an}中,Sn为前n项和.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列;等比数列{bn}中,Tn为前n项和.Tn,T2n-Tn,T3n-T2n,…一般仍成等比数列.[失分警示]1.忽视等比数列的条件:判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件.2.漏掉等比中项:正数a,b的等比中项是±,容易漏掉-.3.忽略对等比数列的公比的讨论:应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.4.an-an-1=d或=q中注意n的范围限制.5.易忽略公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2.6.证明一个数列是等差或等比数列时,由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式,易出错,必须用定义证明.7.等差数列的单调性只取决于公差d的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比q,又要考虑首项a1的正负.考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法题型1利用递推关系求通项公式典例1(1)已知正项数列{an}满足a1=1,(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0,则它的通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=n[解析]由(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0,得[(n+2)an+1-(n+1)an](an+1+an)=0,又an>0,所以(n+2)an+1=(n+1)an,即=,an+1=an,所以an=··…·a1=a1(n≥2),所以an=(n=1适合),于是所求通项公式为an=.[答案]B(2)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为______.[解析]由a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*)得,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=,则==2,故数列前10项的和S10=2=2=.[答案]题型2利用an与Sn的关系求an典例2[2015·全国卷Ⅰ]Sn为数列{an...

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