下载后可任意编辑 四面体中的动点不等式初探 孙世宝安徽省马鞍山市丹阳中学 243121[摘要] 本文对四面体中的几何不等式的讨论方法进行了一下探讨,并利用这些方法获 得了四面体中的若干不等式.[关键词] 四面体 动点不等式 埃尔多斯---莫德尔不等式 推广 几何不等式 猜想一 引言与引理 若空间不共面三条直线共点于( 不共点可平移) , 在这三条直线上各取异于的一点, 记四面体的体积为我们把称为直线所成的空间角(也能够推广到高维空间, 一般书上是利用向量Gram 行列式定义的, 称为 r 阶空间角) , 细节可参阅文献[1],这个定义更加简洁些. 以下设是任意四面体内或边界( 形成一凸域)上一动点, V 表示此四面体的体积, ,; 记, 为到四面体顶点的距离, 且约定; 为到所正确四面体表面的距离; 下载后可任意编辑表示到四面体的棱的距离,; 我们约定且约定表面的指向四面体外侧的单位法向量为,是顶点正确表面所成的内二面角; 又以代表前述三角形的面积,表示四面体相应面上的高; 分别表示循环和与积. 我们还定义四面体的顶角为过顶点直线所成的空间角, 过 P 的三直线所成的空间角为一般称为以为顶点的内顶角. 关于动点的 P 的函数对于凸域中的任意两点,若满足, 则我们是上的凸函数( 凹函数).假如上述等号仅在重合时取到, 则称为严格凸( 凹) 的. 引理 1 : 这是三维单形的基本向量关系式, 证明略. 引理 2 若下载后可任意编辑且则有 证明: 先证明时命题成立,即由知 而这样于是即 引理 3 空间凸域内动点到定点、 定直线、 定平面的距离函数都是凸的;假如凸域在定平面的某一侧,则动点到此平面的距离函数既凸且凹. 引理 4 凸域上的连续函数凸函数最大值能在边界上取到 假如边界是平面多边形( 即凸域是闭多面体) , 最大值能在多面体的某个顶点取到. 引理 5 为上的凸函数, 为非负常数, 则也是上的凸函数.下载后可任意编辑 引理 6 非负函数在凸域上是凸的,常数则函数在上也是凸的.这三个引理的证明可参考文献[2]. 对于四面体的以为顶点的四个内顶角有如下的结果 (证明见文献[1]) 引理 7 二．几个关于四面体的几何不等式 1. 向量法下面的符号同引言中所述, 我们建立几个四面体围成的闭域内动点的若干个不等式.( 我们推导时假设 P 是内点) 定理 1 内部一点, 则有如下的不等式 证明 利用引理 1 知是单位向量, 且任意三者不共线, 于是由引理 2 知下载后可任意编辑运用余...
