球和各种几何体切、接问题专题一

- 1 - / 17 球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 . 1、球与正方体（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有 2ra .（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r ，这时有 22ra . 2- 2 - / 17 （3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有 23ra.图3例 1 棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D 的 8 个顶点都在球 O 的表面上， EF，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球 O 截得的线段长为（）A ．22B．1C．212D．2思路分析： 由题意推出，球为正方体的外接球. 平面11AA DD 截面所得圆面的半径12 ,22ADR得知直线 EF 被球 O 截得的线段就是球的截面圆的直径.2、 球与长方体例 2 自半径为 R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MCMBMA,,，求222MCMBMA的值．- 3 - / 17 结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．例 3 （全国卷 I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积为（）. A. 16 B. 20 C. 24 D. 32思路分析： 正四棱柱也是长方体. 由长方体的体积16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2， 4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径. 3、 球与正棱柱（1）结论 1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．（2）结论 2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．- 4 - / 17 二、 球与锥体的切接规则的锥体，如正四...