奇妙的裴波那契数列和黄金分割

奇妙的裴波那契数列和黄金分割 “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元 1170年，卒于 1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【 5表示根号 5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【该数列有很多奇妙的属性】 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887 还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。 如果你看到有这样一个题目：某人把一个 8*8的方格切成四块，拼成一个 5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么 64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差 1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 如果任意挑两个数为起始，比如 5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成 5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如 4,6,10,16,26 （从 2开始每个数的两倍）。 斐波那契数列的第 n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-1 3.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+ +[f(n)]^2=f(n) f(n+1) 5.f(...