直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略〔3〕直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题· 中考数学》的作者上海 马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边， 那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上〔不含直径的两个端点〕．例题解析例?如图 1-1，在△ ABC 中， AB＝ AC＝10， cos∠B＝ 45．D、E 为线段 BC 上的两个动点，且 DE＝3〔E 在 D 右边〕，运动初始时D 和 B 重合， 当 E 和 C 重合时运动停止．过E作 EF//AC 交 AB 于 F，连结 DF．设 BD＝x，如果△ BDF 为直角三角形，求x 的值．图 1-1 【解析】△ BDF 中，∠ B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况． 如果把夹∠ B 的两条边用含有x 的式子表示出来， 分两种情况列方程就可以了．如图 1-2，作 AH⊥BC，垂足为 H，那么 H 是 BC 的中点．在 Rt△ABH 中， AB＝ 10，cos∠ B＝ 45，所以 BH＝8．所以 BC＝16．由 EF//AC，得 BFBEBABC，即31016BFx．所以 BF＝ 5 (3)8x．图 1-2 图 1-3 图 1-4 ①如图 1-3，当∠ BDF ＝90° 时，由4cos5BDBBF，得45BDBF ．解方程45(3)58xx，得 x＝3．②如图 1-4，当∠ BFD ＝90° 时，由4cos5BFBBD，得45BFBD ．解方程 5154885xx ，得757x．我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B．例?如图 2-1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，，，．以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成△ABC，设 AB＝x，假设△ ABC 为直角三角形，求x 的值．图 2-1 【解析】△ ABC 的三边长都可以表示出来，AC＝1，AB＝x，BC＝3－x．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①假设 AC 为斜边...