相似三角形中的射影定理

1 相似三角形——相似直角三角形及射影定理【知识要点 】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt△ABC 中，∠ C=90o，则2+ 2= 2（3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30o的直角三角形， 30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3、双垂直型：Rt△ABC 中，∠ C=90o，CD ⊥AB 于 D，则①∽∽②射影定理：CD2= ·AC2= ·BC2= ·【常规题型 】1、已知：如图，△ABC 中，∠ ACB=90 ° ， CD ⊥AB 于 D，S△ABC=20 ，AB=10 。求 AD 、BD 的长 . 2、已知，△ABC 中，∠ACB=90 ° ，CD⊥ AB 于 D。（ 1）若 AD=8 ，BD=2 ，求 AC 的长。（2）若 AC=12 ，BC=16，求 CD 、AD 的长。CBAD2 【典型例题 】例 1．如图所示， 在△ ABC 中，∠ACB=90 ° ，AM 是 BC 边的中线， CN⊥ AM 于 N 点，连接 BN，求证：BM2=MN ·AM 。例 2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ ABC= ∠ADC=90 o，DF ⊥AC 于 E，且与 AB 的延长线相交于 F，与 BC 相交于 G。求证： AD2=AB ·AF 例 3．（1）已知ABC中，90ACB，ABCD，垂足为 D，DE 、DF 分别是BDCADC和的高，这时CABDEF和是否相似？【拓展练习 】1、已知：如图，AD 是△ ABC 的高， BE⊥AB，AE 交 BC 于点 F，AB·AC=AD ·AE。求证：△ BEF∽△ ACF FBCAEDA E C F B D A B M C N FEGDCAB3 3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在 EC 的延长线上任取一点P ，连结APBGAP,，垂足为 G ，交 CE 于 D ，求证：DEPECE2. 4、如图，在四边形ABCD 中，90DB，由点 D 作 AC 的垂线交 AB 于 E，交 AC 于 F。求证：AEABAD2。【作业 】1.已 知ABC 中 ，CDACB,90是 高 ， 若bACaBC,，qADhCD,，pBD， 且4,3 ba，则 c， p， q， h. 2.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm2和 cm8，则两条直角边的长分别为，斜边上的高为. A B C D E F 4 3.如图，ABCRt，ABCDACB,90于 D ，,6cmBDcmAD4，则 BC. 4．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 ° ， AC＞ BC，CD ⊥AB， DE ⊥AC，EF⊥ ...