矩阵的相抵与相似

§等价关系与集合的划分本节只做简单介绍，考试不考此部分，在以后抽象代数中还会讲到。§矩阵的相抵（也叫等价）第一章§ 1 已经证明，任何一个矩阵A 经过初等行变换可以化成简化行阶梯形矩阵J 。如果再对 J 进行列变换，那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子：13213213212101101124601010000A101011000（以上行变换）；再经过列变换100010000A。最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是：2000I。问: 任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢？定义 1 数域 K 上的矩阵 A经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B ，则称 A与 B是相抵的或等价的，记作AB:相抵，或 AB:等价。矩阵的相抵关系满足 1 ° 反身性： AA:相抵, 即 A与自己相抵 ；2° 对称性：若AB:相抵，则 BA:相抵;3° 传递性：若AB:相抵， BC:相抵, 则 AC:相抵.因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。事实 1 数域 K 上的 sn 矩阵 A 与 B 相抵A经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B存在 K 上的 s 阶初等矩阵12,,,tP PPL与 n 阶初等矩阵12,,,mQ QQL, 使得2112tmPP P AQ QQBLL存在 K 上的 s 阶可逆矩阵 P与 n 阶可逆矩阵 Q, 使得PAQB . （1）定理 1 设数域 K 上的 sn 矩阵 A 的秩为 r 。如果0r,则 A相抵于下述形式的矩阵000rI, （2）称矩阵（ 2）为 A的相抵标准形。证明如果0r, 则 A经过一系列初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵J 有 r 个非零行：12100001000001000000000000000000nnrncccJLLLLLLLLLMMMMLLLLLLLLLMMLLL再经过适当的两列互换，可以变成下述形式：11121211100001000001000000000000rnrnrrrnccccJccLLLLMMMLLLLMMMMLL，，，。（3）把1J 的第 1 列的1,11,,,rnccL倍分别加到第1,,rnL列上；接着把1J 的第 2 列的2,12,,,rnccL倍分别加到第1,,rnL列上; ⋯，最后把1J 的第 r 列的,1,,,r rr nccL倍分别加到第1,,rnL列上，便得到下述形式的矩阵：000rI。因此， A相抵于这个矩阵。如果0r，则0A，从而0A :相抵。定理 2 数域 K 上两个 sn 的矩阵 A与 B 相抵当且仅当它们的秩相等。证明必要性。设 A与 B相抵，则 A经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B 。由于初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩，所以A 与 B 的秩相等。充分性。设()()0rankrankABr，则000rIA :相抵，000rIB :相抵。从而 AB:相抵。如果0r，则0AB，A与 B 相抵也相抵...