§等价关系与集合的划分本节只做简单介绍,考试不考此部分,在以后抽象代数中还会讲到。§矩阵的相抵(也叫等价)第一章§ 1 已经证明,任何一个矩阵A 经过初等行变换可以化成简化行阶梯形矩阵J 。如果再对 J 进行列变换,那么能变成什么样的最简单的矩阵?看例子:13213213212101101124601010000A101011000(以上行变换);再经过列变换100010000A。最后这个矩阵非常简单,把它写成分块矩阵的形式就是:2000I。问: 任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢?定义 1 数域 K 上的矩阵 A经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B ,则称 A与 B是相抵的或等价的,记作AB:相抵,或 AB:等价。矩阵的相抵关系满足 1 ° 反身性: AA:相抵, 即 A与自己相抵 ;2° 对称性:若AB:相抵,则 BA:相抵;3° 传递性:若AB:相抵, BC:相抵, 则 AC:相抵.因此,矩阵的相抵关系是一种等价关系。事实 1 数域 K 上的 sn 矩阵 A 与 B 相抵A经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B存在 K 上的 s 阶初等矩阵12,,,tP PPL与 n 阶初等矩阵12,,,mQ QQL, 使得2112tmPP P AQ QQBLL存在 K 上的 s 阶可逆矩阵 P与 n 阶可逆矩阵 Q, 使得PAQB . (1)定理 1 设数域 K 上的 sn 矩阵 A 的秩为 r 。如果0r,则 A相抵于下述形式的矩阵000rI, (2)称矩阵( 2)为 A的相抵标准形。证明如果0r, 则 A经过一系列初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵J 有 r 个非零行:12100001000001000000000000000000nnrncccJLLLLLLLLLMMMMLLLLLLLLLMMLLL再经过适当的两列互换,可以变成下述形式:11121211100001000001000000000000rnrnrrrnccccJccLLLLMMMLLLLMMMMLL,,,。(3)把1J 的第 1 列的1,11,,,rnccL倍分别加到第1,,rnL列上;接着把1J 的第 2 列的2,12,,,rnccL倍分别加到第1,,rnL列上; ⋯,最后把1J 的第 r 列的,1,,,r rr nccL倍分别加到第1,,rnL列上,便得到下述形式的矩阵:000rI。因此, A相抵于这个矩阵。如果0r,则0A,从而0A :相抵。定理 2 数域 K 上两个 sn 的矩阵 A与 B 相抵当且仅当它们的秩相等。证明必要性。设 A与 B相抵,则 A经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B 。由于初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩,所以A 与 B 的秩相等。充分性。设()()0rankrankABr,则000rIA :相抵,000rIB :相抵。从而 AB:相抵。如果0r,则0AB,A与 B 相抵也相抵...