《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引( 二)一． 矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的 “大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nAC可以视为一个mn 维的向量 （采用所谓 “拉直”的变换） ，所以，直观上可用mnC上的向量范数来作为m nAC的矩阵范数。比如在 1l范数意义下，111||||||mnijijAa12tr()HA A；（）在2l - 范数意义下，12211||||||mnFijijAa，（）注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数， 称为 Frobenius范数，或 F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3 个条件。那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算， 它在定义范数时应予以体现，也即估计 AB 的“大小”相对于 AB与的“大小”关系。定义 1设m nAC，对每一个 A，如果对应着一个实函数()N A ，记为 ||||A，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A；（1a）正定性：||||0m nAOA（2）齐次性： |||| ||||||,AAC ；（3）三角不等式：|| A |||| ||||||||,m nABABBC则称()||||N AA为 A的广义矩阵范数。进一步，若对,,m nn lm lCCC上的同类广义矩阵范数 || ||?，有（4）（矩阵相乘的）相容性：|| A |||| ||||||||ABAB，n lBC，则称( )||||N AA为 A的矩阵范数。我们现在来验证前面（）和（）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（）, 把较容易的（）的验证留给同学们，三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)nnAa aaBb bbLL。222112||)(,),(),(||||||FnnFbababaBA2222222211||||||||||||nnbababa22121222||||||||||||||||nnababL2222122121222122||||||||2 |||| |||||||| ||||||||||||nnnnaaababbbLLL对上式中第2 个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有222||||||||2|||| ||||||||FFFFFABAABB2(|||||||| )FFAB（）于是，两边开方，即得三角不等式。再验证矩阵乘法相容性。222111111||||||||mlnmlnFikkjikkiijkijkABa bab221111||||mlnniksjijksab（这一步用了Cauchy 不等式）22221111|||||||| ||||mnnliksjFFiksjabAB（）可见，矩阵相容性满足。这样就完成了对矩阵F- 范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗？ No!运用 l- 范数于矩阵范...
