2010— — 2011 学 年 第 二 学 期 合肥学院数理系 实 验 报 告 课程名称: 数学建模与数学实验 实验项目: 微分方程建模 实验类别:综合性□ 设计性 □ 验证性□ 专业班级: 姓 名: 学 号: 实验地点: 实验时间: 指导教师: * 绩: 1 一.实验目的: 建立微分方程模型,求出方程的解来说明实际现象,并加以检验,以此来研究实际问题的函数变化规律。 通过运用 matlab 软件及相关知识解决与讨论孤岛疾病微分方程问题。 二.实验内容:(孤岛疾病问题) 考虑在一个人口数量为 N 的孤岛上,一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻 t 将会被感染的人数X。考虑一下模型,其中 k>0 为常数: ()dXkX NXdt (a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设,说明这些假设有什么依据? (b) 把 X 作为 t的函数,解出前面给出的模型。 (c) 由(b),当 t趋于无穷时求X 的极限。 (d) 设岛上的人口有 5000 人,在传染期的不同时刻被感染人数如下表 天数t 2 6 10 被感染人数X 1887 4087 4853 ln(X/(N-X)) -0.5 1.5 3.5 问这些数据能否支持所给的模型? (e) 画出/dX dt关于X 的图形 (f) 若初始被感染的人数1/ 2XN,画出X 关于t的图形;若初始被感染人数为1/ 2XN,画出X 关于t的图形。 (g) 利用(f)的结果估计模型中的常数,并预测 t=32 天(ns 为你学号最后 两位 数字 +10)时被感染的人数。 (h) 分析 上述 模型的优 缺 点 ,试 给出改 进 方案 。 2 三. 模型建立 1) 符号说明: a) X(t):t 时刻被感染的人数 b) S(t):t 时刻未被感染的人数 c) k :感染强度 d) N :孤岛上的人口总数 2) 基本假设: a) 每个病人在单位时间内传染的人数与该时刻未被感染人数成正比,比例系数为k,即传染强度。 b) 每个人得的病不会被治愈,但每个人也不会因得病而死亡。 c) 孤岛上的总人数是不变的,即N。 3) 模型的建立和求解: 0**X+S0dXkXSdtNXX 00dXkX NXdtXX0( )11kNtNX tNeX 设( )()f tkX NX,令22( )0dtd Xf t 极大值点01ln(1)NXtkN 四. 模型求解(含经调试后正确的源程序) (a)主要假设为:(假设依据是:一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病) 每个...