孤岛疾病问题

2010— — 2011 学 年 第 二 学 期 合肥学院数理系 实 验 报 告  课程名称： 数学建模与数学实验 实验项目： 微分方程建模 实验类别：综合性□ 设计性 □ 验证性□ 专业班级： 姓 名： 学 号： 实验地点： 实验时间： 指导教师： * 绩： 1 一.实验目的： 建立微分方程模型，求出方程的解来说明实际现象，并加以检验，以此来研究实际问题的函数变化规律。 通过运用 matlab 软件及相关知识解决与讨论孤岛疾病微分方程问题。 二.实验内容：（孤岛疾病问题） 考虑在一个人口数量为 N 的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻 t 将会被感染的人数X。考虑一下模型，其中 k>0 为常数： ()dXkX NXdt  (a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？ (b) 把 X 作为 t的函数，解出前面给出的模型。 (c) 由(b)，当 t趋于无穷时求X 的极限。 (d) 设岛上的人口有 5000 人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表 天数t 2 6 10 被感染人数X 1887 4087 4853 ln(X/(N-X)) -0.5 1.5 3.5 问这些数据能否支持所给的模型？ (e) 画出/dX dt关于X 的图形 (f) 若初始被感染的人数1/ 2XN，画出X 关于t的图形；若初始被感染人数为1/ 2XN，画出X 关于t的图形。 (g) 利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测 t=32 天(ns 为你学号最后 两位 数字 +10)时被感染的人数。 (h) 分析 上述 模型的优 缺 点 ，试 给出改 进 方案 。 2 三. 模型建立 1) 符号说明： a) X（t）：t 时刻被感染的人数 b) S（t）：t 时刻未被感染的人数 c) k ：感染强度 d) N ：孤岛上的人口总数 2) 基本假设： a) 每个病人在单位时间内传染的人数与该时刻未被感染人数成正比，比例系数为k，即传染强度。 b) 每个人得的病不会被治愈，但每个人也不会因得病而死亡。 c) 孤岛上的总人数是不变的，即N。 3) 模型的建立和求解：  0**X+S0dXkXSdtNXX 00dXkX NXdtXX0( )11kNtNX tNeX 设( )()f tkX NX，令22( )0dtd Xf t 极大值点01ln(1)NXtkN 四. 模型求解（含经调试后正确的源程序） （a）主要假设为：(假设依据是：一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病) 每个...