离散型随机变量的期望值和方差讲义

离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、 期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ 的分布列为ξx1x2x3⋯xn⋯PP1P2P3⋯Pn⋯则称 Eξ =x1P1+x2P2+x3P3+⋯+xnPn+⋯为ξ 的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了 :离散型随机变量取值的平均水平。若η =aξ +b(a、b 为常数 )，则η 也是随机变量，且Eη =aEξ +b。E(c)= c特别地，若ξ ～B(n，P)，则 Eξ =nP2、 方差、标准差定义：Dξ =(x1-Eξ )2·P1+(x2-Eξ )2·P2+⋯+(xn-Eξ )2·Pn+⋯称为随机变量ξ 的方差。Dξ 的算术平方根D=δ ξ 叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有 D(aξ +b)=a2Dξ ,可以证明 Dξ =Eξ2- (Eξ )2。若ξ ～ B(n，p)，则 Dξ =npq，其中 q=1-p.3、特别注意： 在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例 1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ 的期望Eξ 反映了ξ 取值的概率的平均值。B．离散型随机变量ξ 的方差Dξ 反映了ξ 取值的平均水平。C．离散型随机变量ξ 的期望Eξ 反映了ξ 取值的平均水平。D．离散型随机变量ξ 的方差Dξ 反映了ξ 取值的概率的平均值。（2）、（2001 年高考题）一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。例 2、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D－101P211－2q2q练习： 已知ξ 的分布列为(1)求 Eξ ,Dξ ,δ ξ ，(2) 若η =2ξ +3,求 Eη ,Dηξ-101P213161例 3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3 万元，出现非意外死亡则赔付1 万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是1p ，非意外死亡的概率为2p ，则 a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利例 4：把 4 个球随机地投入4 个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D例 5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。例 6、(1)设随机变量ξ 具有分布列为P(ξ =k)=61(k=1，2，3，4，5，6)，求 Eξ 、 E(2ξ +3)和 Dξ 。(2) 设随机变量ξ 的分布列...