离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要:1、 期望的定义:一般地,若离散型随机变量ξ 的分布列为ξx1x2x3⋯xn⋯PP1P2P3⋯Pn⋯则称 Eξ =x1P1+x2P2+x3P3+⋯+xnPn+⋯为ξ 的数学期望或平均数、均值,简称期望。它反映了 :离散型随机变量取值的平均水平。若η =aξ +b(a、b 为常数 ),则η 也是随机变量,且Eη =aEξ +b。E(c)= c特别地,若ξ ~B(n,P),则 Eξ =nP2、 方差、标准差定义:Dξ =(x1-Eξ )2·P1+(x2-Eξ )2·P2+⋯+(xn-Eξ )2·Pn+⋯称为随机变量ξ 的方差。Dξ 的算术平方根D=δ ξ 叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有 D(aξ +b)=a2Dξ ,可以证明 Dξ =Eξ2- (Eξ )2。若ξ ~ B(n,p),则 Dξ =npq,其中 q=1-p.3、特别注意: 在计算离散型随机变量的期望和方差时,首先要搞清其分布特征及分布列,然后要准确应用公式,特别是充分利用性质解题,能避免繁琐的运算过程,提高运算速度和准确度。二、例题:例 1、(1)下面说法中正确的是()A.离散型随机变量ξ 的期望Eξ 反映了ξ 取值的概率的平均值。B.离散型随机变量ξ 的方差Dξ 反映了ξ 取值的平均水平。C.离散型随机变量ξ 的期望Eξ 反映了ξ 取值的平均水平。D.离散型随机变量ξ 的方差Dξ 反映了ξ 取值的概率的平均值。(2)、(2001 年高考题)一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出两个,则其中含红球个数的数学期望是。例 2、设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求E、D-101P211-2q2q练习: 已知ξ 的分布列为(1)求 Eξ ,Dξ ,δ ξ ,(2) 若η =2ξ +3,求 Eη ,Dηξ-101P213161例 3、人寿保险中(某一年龄段),在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a 元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3 万元,出现非意外死亡则赔付1 万元,经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是1p ,非意外死亡的概率为2p ,则 a 需满足什么条件,保险公司才可能盈利例 4:把 4 个球随机地投入4 个盒子中去,设表示空盒子的个数,求E、D例 5、已知两家工厂,一年四个季度上缴利税如下:(单位:万元)试分析两厂上缴利税状况,并予以说明。例 6、(1)设随机变量ξ 具有分布列为P(ξ =k)=61(k=1,2,3,4,5,6),求 Eξ 、 E(2ξ +3)和 Dξ 。(2) 设随机变量ξ 的分布列...