1 / 11 立体几何中的向量方法习题课基础再现1.空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个 _________以及一个 _________确定 . 2.直线 l⊥平面 α，取直线 l 上的方向向量a，则向量 a⊥α，向量 a 叫做平面 α 的_________. 3.若直线 l 的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量 v=(a2,b2,c2)，则l∥α___________________________, l⊥α_____________________________________________. 4.|a|2_________a2. 答案： 1.定点定方向2.法向量3.u⊥vv?u=0a1a2+b1b2+c1c2=0 u∥vu=kv(a1, b1, c1)=k(a2, b2, c2)a1=ka2, b1=kb2, c1=kc24.= 典例启示【 例1 】如 右 图 ， 平 行 六 面 体ABCD— A1B1C1D 1 的 底 面ABCD是 菱 形 ， 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD =60°，则当1CCCD 的值为多少时，能使A1C⊥平面 C1BD？解： 设aCD，bCB，cCC1，由已知 |a|=|b|，BDCA1=(a+b+c)(a-b)=|a|2-|b|2+a?c-b?c=|a||c|?cos60 °-|b||c|?cos60 °=0，∴CA1⊥BD. 因而 A1C⊥平面 C1BD 的充要条件是CA1⊥C1D. 由DCCADCCA1111=(a+b+c)?(a-c)=0|a|2+a?b-b?c-|c|2=0|a|2+|a|?|b|?cos60 °-|b|?|c|?cos60 °-|c|2=0(3|a|+2|c|)?(|c|-|a|)=0. |a|>0,|c|>0,∴|a|=|c|.∴当11CCCD时， A1C⊥平面 C1BD. 启示： 这是条件开放性问题，从结论出发， 利用向量垂直的条件由线线垂直推出线面垂直.本题通过利用向量的几何运算法则及向量的数量积运算大大降低了探索难度. 【例 2】 如图，正四棱柱ABCD — A1B1C1D1 中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱 AB、BC 的中点 . 2 / 11 (1)求证：平面B1EF⊥平面 BDD 1B；(2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 . (1)证明： 建立如右图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B(22,22,0),E(22,2 ,0),F(2 ,22,0),D 1(0,0,4), B1(22,22,4). EF =(2 ,2 ,0), DB =(22,22,0),1DD =(0,0,4), ∴0DBEF,01DDEF. ∴EF⊥DB,EF⊥DD 1.∴EF ⊥平面 BDD 1B1. ∴平面 B1EF⊥平面 BDD 1B1. (2)解： 设平面 B1EF 的法向量n=(x,y,z),则EFn,1EBn. 又1EB =(0,2 ,4),∴n?EF =-2 x+2 y=0,n?1EB =2 y+4z=0. ∴x=y,yz42.取 y=1,得 n=(1,1,42). 又11BD=(22,22,0),∴点 D 1 到平面 B1EF 的距离为171716||||11nnBDd. 启示： 利用法向量知识求点到平面的距离，必须找这个平面过这点的斜线段(如本例D1B1). 【例 3】 如右图，四棱锥P...
