线性代数常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型 1．关于1,,mK线性相关性的证明中常用的结论（1）设110mmL，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,mK必全为零，则1,,mK线性无关；如果能得到不全为零的1,,mK使得等式成立，则1,,mK线性相关。（2）1,,mK线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。（3）如果1,,nmFK，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,mWK12,,,tWK且12,W W 是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,mtKK线性无关。这种情况下，有些时候我们设111111110,,mmttmmttLLLL。根 据 题 设 条 件 往 往 能 得 到0， 进 而 由11,,,mWK12,,tWK的线性无关得到系数全为零。题型 2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}nBK是单位正交基，11(,,),(,,)BnBnuxxvyyKK。则11( , )nnu vx yx yL5题型 3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩（3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明） ：常用来证明关于秩的不等式()()();()min{(), ()};()()();max{ (), ( )}( ,)()();( )( );()()()()();0()()TTTTm nr ABr Ar Br ABr A r Br Ar Ar A AAr Ar Br A Brr Ar BBArr Ar BBAr Ar Brr Ar Br CCBABr Ar Bn（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()m nr Ar Bnr AB 。证：()()()0nnnEEnr ABrrABAABEBrr Ar BA上面第二个等号是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得； 第三个等号是用B 又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齐次线性方程组解的结构（dim()()m nN Anr A ），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7）利用向量组的秩与维数主要是两个结论：（i ）矩阵的秩 =列秩=行秩（ii ） dimkerdimImdimker()r的定义域的维数（8）利用行列式秩（9）利用相抵标准形题型 4. 关于可逆矩阵常用结论（1）结论 ： A 可逆AXb 有唯一解||0A。（2）结论 ：,()nA BMF可逆AB 可逆。（3）结论： A 可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4）结论 ： A 可逆当且仅当 0 不是它的特征值。题型 5. 关于矩阵对角化的常用结论（1）结论：A 相似于1..BCstACBC 。（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一...