第 5 章级数与拉普拉斯变换无穷级数是进行数值计算的一个重要工具, 在自然科学与工程技术中有着广泛的应用 . 本章在介绍无穷级数的基本概念、性质以及数项级数敛散性的基础上， 讨论如何将一般函数展开成幂级数与三角级数.无穷级数包括：数项级数、幂级数、傅里叶级数. 无穷级数是研究函数的工具，它主要有以下这些作用：表示函数、研究性质、数值计算.§5．1 级数的基本概念和性质一、 无穷级数的基本概念1. 设 u1 ， u2 ， ⋯ ， u ｎ ，⋯（5. 1. 1）是按一定顺序排列起来的一个无穷数列，对数列（5. 1. 1）的各项依次用加号连接起来的表达式u1＋u2＋⋯＋ uｎ＋⋯ ＝n1un（5. 1. 2）叫做无穷级数（简称级数） . 其中 u1 叫作级数的第 1 项（也叫首项），u2叫作级数的第 2 项，⋯，第 n 项叫作级数的一般项（或者叫通项） ．2. 如果级数（ 5. 1. 2）中的各项是常数，则称级数（5. 1. 2）为常数项级数（简称数项级数）．例如111123n为一个数项级数，记作11nn .3. 如果级数（ 5. 1. 2）中的各项是变量x 的函数，则称级数（ 5. 1. 2）为函数项级数例如x+x2+ x3+⋯+xn+⋯为一个函数项级数，记作11nnx .二、级数的敛散性1. 从级数（ 5. 1. 2）的首项加到第 n 项止，即级数的前 n 项（有限项）的和sn= k1unk= u1＋u2＋⋯＋ uｎ叫做级数的部分和．当 n 依次取 1，2，3，⋯时，级数的部分和构成一个新的数列s1，s2，s3，⋯， sn，⋯叫做级数的部分和数列，记作｛ sn｝2.当 n→∞时， 如果级数 （5. 1. 2）的部分和数列 sn 存在极限， 即 limnnss则称级数（ 5. 1. 2）收敛 ，极限值s 称为级数（ 5. 1. 2）的和．记作 s=u1＋u2＋⋯＋ uｎ+⋯．3.当 n→∞时，如果级数（ 5. 1. 2）的部分和数列sn 没有极限，则称级数（5. 1. 2）发散 ，这时级数（ 5. 1. 2）就没有和．4. 当级数收敛时，其部分和sn是级数的和 s 的近似值，称 s－sn 为级数的 余项，记为 rn，即 rn=s－sn= u n+1＋un+2＋⋯．由此定义可知，级数与其部分和数列有着紧密的联系，也就是说，级数的收敛、发散性（简称敛散性）就是用级数的部分和数列是否有极限来定义的．正因为如此，我们不难看出，数列与级数是一个问题的两种形式，一般地，任给级数（5. 1. 2），则对应一个数列｛ sn｝，反之对于给定数列｛ sn｝可令 u1=s1 ，u2=s2 －s1 ，⋯，un=sn －sn-1，⋯从而...
