数列的最大项与最小项VIP专享

1 数列的最大与最小项问题 学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法： 1．直接求函数)(nfan 的最大值或最小值，根据)(nf的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(nf本身的性质求出)(nf的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(nf求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(nf所在的函数)0)((xxf求导，得到)(xf的最值，然后再分析)(nf的最值. 2．考察)(nf的单调性：)0(0)()1(或nfnf，然后根据)(nf的单调判断)(nf的最值情况. 3．研究数列)(nfan 的正数与负数项的情况，这是求数列}{na的前n 项和nS 的最大值或最小值的一种重要方法. [例1]首项为正数的等差数列}{na，它的前4 项之和与前11 项之和相等，问此数列前多少项之和最大？ [解法一]记}{na的前n 项和为nS ，,114SS  ,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或nnSnnnannaannnaSaddada [解法二]由解法二知}{,0711naad是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大， 10988721811651140,0070aaaaaaaaaaaSS而 2 }{7a中前7 项为正数项，从第9 项开始各项为负数， 而8787,SSSS或最大. [评析]解法一抓住了)(nfSn 是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{na的单调性与正、负项的情况得到最大项. [例2]设等差数列}{na的前n 项和为nS ，已知,0,0,1213123SSa （I）求公差d 的取值范围； （II）指出nSSS,,,21中哪一个最大？说明理由； （III）指出nnaSaSaS,,,2211中哪一个最小？说明理由. [解析]（I）00)(32)(60767612112aaaaaaS①， 001307713aaS②， 由①、②得;37240407233ddada （II）由①、②得}{,0,00776nadaaa而为递减数列， ;,,,0687662187621最大故而SSSSSSSaaaaa （III）,014131287621SSSSSSSS 12128877,,,,}{aSaSaSaSnn只有中在这六项为负值，而其余各项均为正数， }{nnaS的最小项只可能是这六项中的一项， 3 011101287...