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数列的最大项与最小项

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1 数列的最大与最小项问题 学习要点: 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题,也是函数最值问题的一个重要类型,问题的解答大致有下面一些方法: 1.直接求函数)(nfan 的最大值或最小值,根据)(nf的类型,并作出相应的变换,运用配方、重要不等式性质或根据)(nf本身的性质求出)(nf的最值,也可以考虑求导解决,但必须注意,不能直接对)(nf求导(因为只有连续函数才可导),而应先对)(nf所在的函数)0)((xxf求导,得到)(xf的最值,然后再分析)(nf的最值. 2.考察)(nf的单调性:)0(0)()1(或nfnf,然后根据)(nf的单调判断)(nf的最值情况. 3.研究数列)(nfan 的正数与负数项的情况,这是求数列}{na的前n 项和nS 的最大值或最小值的一种重要方法. [例1]首项为正数的等差数列}{na,它的前4 项之和与前11 项之和相等,问此数列前多少项之和最大? [解法一]记}{na的前n 项和为nS ,,114SS  ,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或nnSnnnannaannnaSaddada [解法二]由解法二知}{,0711naad是首项为正数的单调递减数列,∴所有的正数项的和最大, 10988721811651140,0070aaaaaaaaaaaSS而 2 }{7a中前7 项为正数项,从第9 项开始各项为负数, 而8787,SSSS或最大. [评析]解法一抓住了)(nfSn 是二次函数的特点,通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{na的单调性与正、负项的情况得到最大项. [例2]设等差数列}{na的前n 项和为nS ,已知,0,0,1213123SSa (I)求公差d 的取值范围; (II)指出nSSS,,,21中哪一个最大?说明理由; (III)指出nnaSaSaS,,,2211中哪一个最小?说明理由. [解析](I)00)(32)(60767612112aaaaaaS①, 001307713aaS②, 由①、②得;37240407233ddada (II)由①、②得}{,0,00776nadaaa而为递减数列, ;,,,0687662187621最大故而SSSSSSSaaaaa (III),014131287621SSSSSSSS 12128877,,,,}{aSaSaSaSnn只有中在这六项为负值,而其余各项均为正数, }{nnaS的最小项只可能是这六项中的一项, 3 011101287...

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